进阶课程㉕丨Apollo规划技术详解——Optimization Inside Motion Planning
在自动驾驶软件的开发中，运动规划是最核心的模块之一。它将综合感知、定位和地图等信息，规划出无人车未来一段时间（约10秒）的一系列动作指令（方向盘转角、油门、刹车等）。
运动规划的问题——目标函数（objective function）和约束（constraint）。运动规划的最终目的就是找出一条最优的运动轨迹，使其能够最小化（或者最大化）目标函数，并且不违背任何约束。
在自动驾驶中，可以将环境抽象成SL坐标系，在此坐标下的曲线光滑度是有要求的，因此需要对轨迹线进行平滑处理。
上周阿波君为大家详细介绍了「进阶课程㉔Apollo规划技术详解——Motion Planning Environment」。其中详细介绍了平滑的方法，包括对多项式进行优化，对 Bezier Spline 进行平滑处理，以及 Spline 2D 与 Spiral Path 等。
本周阿波君将继续与大家分享Apollo规划技术详解——Optimization Inside Motion Planning的相关课程。下面，我们一起进入进阶课程第25期。
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约束问题的核心有三点：第一是目标函数的定义，目标函数比较清晰，对于后面的求解更有帮助。第二是约束，比如路网约束、交规、动态约束等。第三是约束问题的优化，比如动态规划、二次规划等。本节主要介绍动态规划和二次规划的基本概念，以及二次规划问题的求解方法和形式化方法。
▲运动规划的概念
动态规划通过类似于有限元的方式，把问题从连续空间抽象成离散空间，然后在离散空间中进行优化。虽然这种方法可以逼近连续空间中的最优解，但是计算复杂度很高。针对计算时间长的问题，可以使用牛顿方法进行优化，它的收敛次数是指数平方，也叫二次收敛。
▲二次规划算法
二次规划算法的本质是牛顿法的 Taylor 展开，但是它的求解过程涉及更复杂的情况。因为二次规划方法并不一定是处理一维问题，可能涉及更高阶求导。在实践中，二阶导数基本可以满足问题需求。
然而，牛顿法要求 locally convex 才能保证收敛，也就是导数是严格单调递增的。但是一般函数并没有这样的特性，动态规划或二次规划都无法获得全局最优解。为了解决这样的问题，通常使用启发式搜索方法。
首先通过动态规划方式对整个问题有一个粗浅的认识，然后通过二次规划进行细化。这种启发式搜索方法也是目前百度 Apollo 的 EM 算法的核心思想。这种方法和人开车的过程是一样的，通常驾驶员会先形成一个大概的指导思想，指明往什么方向开，然后再规划一条最优路径。
决策问题是一个离散空间中的优化问题，它的决定是什么？可以通过动态规划对整个空间先形成一个粗浅的认识，然后以此为启发，用二次规划求最优解。
一般来说，二次规划问题会写成一个二次函数，如下图所示。
▲二次规划问题函数表达式
其中，X 是向量参数，Q 是一个对称的正定矩阵，
对于带约束的二次规划问题，情况就相对复杂一点，如下图所示。
▲带约束的二次规划问题函数表达式
这种情况可以有很多种解法，其中一种把限制条件放到上面的式子中，通过换元，变成一个全新的 QP 问题求解，但是这种方法很慢。另一种方法是 Lagrangian method ，通过增加松弛变量的方式去掉约束条件，变成一个可以解决的问题。
对于不等式的约束条件，如何去求解呢？可以使用 active set method，其主要出发点是最后解，可能落到边界上，如果真的是边界最优，不等式约束就可以转化为等式约束问题求解。有人总结出求解二次规划问题的方法 KKT，其主要思想如下图所示。
▲ KKT条件
总的来说，对于求解非线性优化问题（自动驾驶中的规划基本都是非线性的），通常就是用启发式方法来求解。先用动态规划给出一个粗略解，给出一个凸空间。然后用二次规划方法在凸空间里去寻找最优解，如下图所示。
▲求解非线性优化问题
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