【教研心得】从一道高二期末调研题谈应用题的教学

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【小丁按】小丁于2017年3月在江苏省常熟中学高三二轮复习研讨会上作专题报告《要重视应用题的研究质量》，并将报告内容切块成三篇文章发表，主要阐述了应用题的“选”、“编”、“讲”，本文是应用题专题研究之续篇，发表于苏州大学《中学数学月刊》2020年第1期，旨在抛砖引玉，引起各位同仁对应用题的深度研究。

1 问题的提出
苏州市2018-2019学年第一学期高二期末调研卷中命制了以下应用题：光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为k₁，与光源距离的平方成反比，比例系数为k₂（k₁，k₂均为正常数）．如图1，强度分别为8，1的两个光源A，B之间的距离为10，物体P在连结两光源的线段AB上（不含A，B）．若物体P到光源A的距离为x．（1）试将物体P受到A，B两光源的总照度y表示为x的函数，并指明其定义域；（2）当物体P在线段AB上何处时，可使物体P受到A，B两光源的总照度最小？从实际考查结果来看，本题成了整份试卷的分水岭和重灾区，说简单似曾相识，因为本题取材于苏教版选修2-2教材第36页的例4，说不难可实际情况却出乎预料，大量的零分导致本题的均分并不高.甚至有部分老师感慨：“讲过此题的班级却没有不讲的班级做得好.”如此现状不得不引人深思，应用题的教学到底出了什么问题？

2 问题的分析

2.1从试题中的“争议点”谈命题的科学性

本题的争议点在于函数模型中的系数问题，有些老师认为应该遵循教材及物理学中的比例系数设置原则，没有必要引入两个参数作为比例系数，只需一个系数即可.事实表明恰恰就是因为学生对比例系数的理解不到位，没有充分认识到正比例函数y=kx、反比例函数y=k/x的系数位置，而将函数模型错写成，导致全错；还有一部分学生将系数略写成“1”，即导致全错.因此，很有必要对本题的系数问题进行考究.

本题中“光的照度”显然是物理中的光学名词，百度百科关于物理中的比例系数有如下阐述：“在物理学的方程式中都包含有比例系数，所包含的比例系数与单位的选择有关.在定义方程式中，包含的比例系数是一个永远无量纲的量，它的数值是表示被量度的量的一种单位比另一种单位大到多少倍.若方程中所有各量均用一种制的单位来表示，则比例系数等于1，若各量是用不同单位制表示，则系数不等于1.”由此可见，物理量中的比例系数只需一个特定意义的数值来衡量各研究量之间的比例关系即可，这个数值的属性与量纲与各研究量有关.另外，从文献^[1][2]也可看出，当一个物理量（如本题中光的照度）中各量（距离的平方，光的强度）的单位都已分别独立确定，其系数就有了一定数值和量纲，该系数的值是由实验测定，一般而言这样的比例系数不可省去.由此可见从物理角度上看，本题如若写成的形式便舍弃了比例系数的物理属性，理所当然不正确.但若单纯从数学建模的角度来说，学生写成以上形式应该能说明其已经能选择恰当的数学模型（函数）研究此实际问题，比例系数在具体的实际问题（照度最大时的位置）解决中并非关键，适度形式化是数学教学中一条基本原则.

因此，为避免这样的命题争议，建议在命题时对涉及其他学科知识背景的内容应遵循其他学科的惯例和约定，减少其他学科知识中专业性知识对数学考查内容的影响以提高数学命题的效度.如本题在设置时可以仿照教材，用唯一的参数k作为比例系数，这样就比较合理，也不会出现大量的零分，让试题本身的测试效果更加客观有效.2.2在模型求解中谈应用题的讲评处理本题在解模策略上至少有两种：策略1 运用导数.这应是本题真正考查的意图所在，但课本上在解方程时避重就轻地写到“解得x=2”，而实际上这恰是多数学生难以突破的计算节点和思维障碍，从调研试题的实际情况可以看出很多学生要么不能准确求导，要么不能准确地解出x，因此，这应该是讲评中需要“慢镜头”重点讲的节点.在求导环节上，可尝试对函数模型的形式作一些调整.调整1 将分式分母的x系数化为正（由于都是平方项，不影响结果），即，这样做的好处避免复合函数求导后导致的正负号问题，尤其是对不学复合函数求导的文科学生来说是非常有利的；调整2 将原函数中的分式结构改写成分数指数幂，再运用幂函数的求导法则求导，即，这样很容易得到.在解方程环节上，即如何解，可引导学生观察方程中字母的系数和指数关系，并考虑幂函数在区间(0,+∞）上的单调性，由此突破解方程时所遇到的计算障碍.策略2 运用不等式知识.对于思维层次较高的学生而言，可以运用不等式知识来研究最值.如运用均值不等式研究目标函数的主体部分，具体为：

，再运用均值不等式找到取“=”条件，即当且仅当

时，为了消去字母a，可将两式相比即可得到关于的方程，下面解方程同上.当然对于思维层次更好、数学素养更高的学生还可以运用柯西不等式（赫尔德不等式）加以处理.

总之，在应用题的讲评上应研究解答过程中学生可能会产生的困惑和障碍，根据学生的实际情况进行现场指导，这样才能提高讲评的质量.

3 问题的反思

反思1：应用题的命题要考量模型的科学性和教学的导向性在文^[3]中笔者曾指出一道好的数学应用题应为应用题的教学提供良好导向，特别是在一些大型考试（模考、调研测试甚至高考）中更要关注试题的教学导向功能.现在很多应用题的命制有个不好的倾向——将一个纯数学问题生硬地套个实际背景，连数据都缺乏真实性，这样的假应用题对学生数学建模能力的培养根本没有好处.命制应用题不应是简单的“拿来”与“照搬”，而是在真实客观的背景下选择学生熟悉的、模型典型的、且有测试空间的数学模型进行命题，对涉及其他学科的知识要慎重甚至有时要作一些必要的解释说明，以确保应用题的真实性与科学性，特别要舍弃那些与数学建模无关的非本质因素（如考题的系数问题），真正发挥数学应用题的教学功效，让“数学建模”落到实处.反思2：应用题的解题教学要多在学生思维节点处花功夫正如前文所述，为何不讲的班级比讲的班考得好？问题就出在“讲什么、怎么讲”上面，如若讲不到问题的关键处，讲不到学生的思维障碍（节点）处，讲评的效果肯定不会理想.以往对于应用题的解题教学，更多地停留于分析如何建模以及建立什么模型，却忽视指导学生如何解模，仅仅板书一遍的效果甚微，学生根本没有建立起与之匹配的相关数学活动经验，自然在以后遇到类似问题还是做不出.在应用题的解模教学中，应根据学生实际的认知结构和能力水平选择适合的解模策略，讲授的方法不在于多和妙，而在于能否在学生的最近发展区将其思维障碍讲透彻，让学生形成“为何这样去做”的经验，特别是在某些思维节点处要舍得花时间，适时合理地进行示范指导.这样不仅能让学生突破思维瓶颈与运算障碍，更重要的是让不同认知起点的学生均能获得一定的活动经验，评讲效果自然深刻有效.最后，需要指出的是编制一道优秀的应用题需要经过反复修改、斟酌再三才能最终形成，我们在教学中要认真对待应用题的教学，而不是通过“刷”应用题来提高“分数”，通过应用题教学提升学生“数学建模”的素养才是真正的教学要义.参考文献

[1]赵卫华.物理公式的比例系数k[J].《物理教学》，1984年03期:27-29

[2]朱克杰.高中物理教学中几处比例系数处理方法[J].《中学物理》,2016年07期:41

[3]丁益民.从一道高考题谈应用题编制中的若干问题[J].《中学数学研究》，2018年第3期：15-17

END

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