费马点的探索与应用

“悬”而未决

“转”出精彩

导语：

一位著名业余数学家提出的一个有趣的问题！

【问题提出】如图△ABC所有的内角都小于120度，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，当PA+PB+PC的值最小时，求此时∠APB与∠APC的度数。

【问题分析】关于求几何最值问题，我们一般可以借助以下两个公理来处理：

（1）定点到定点：两点之间线段最短；

（2）定点到直线：垂线段最短。

因此，我们要想办法把PA、PB、PC这三条分散的线段转化为连续的折线，然后借助两点之间线段最短找到符合条件的点P。在解决几何最值问题过程中，我们常借助对称变换、平移变换和旋转变换，本题牵涉三条线段，因此我们可以考虑旋转变换。

【问题处理】

【问题归纳】符合条件的点P,我们把它叫做费马点。 所谓的“费马点”就是法国著名业余数学家费马在给数学朋友的一封信中提出关于三角形的一个有趣问题：“在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．”让朋友思考,并自称已经证明了。这是费马通信的一贯作风。人们称这个点为“费马点”。还有像著名的费马大定理（当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。）也是这样，给欧拉的信中提出的，自称已经“有了非常巧妙的证明”。直到离开也没告诉人家这个所谓证明，结果困扰世界数学界三百多年。

费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费马点结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．

【相关应用】

【小结与思考】

通过旋转变换，可以改变线段的位置，优化图形的结构。一般地，当题目出现等腰三角形/等边三角形或正方形条件时，可将图形作旋转60°或90°的几何变换，将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一起，以便挖掘隐含条件，从而解决问题。此外，大家还可以思考如何寻找不规则四边形或n边形的“费马点”！

 #互动区#

欢迎留言

推荐你最期待的内容

传播数学文化，点亮校园生活！

点击以下关键词，查看更多往期内容