三角形的独白：你不懂我的心！

知我者谓我心忧，

不知我者谓我何求

我们相识不算晚，从你小学第一次接触平面图形或者更早，你便知道我的名字叫：三角形。我的大家庭并不复杂，你能轻松按角或者边分把我们区分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；不等边三角形、等腰三角形（等边三角形）！

有一天，你兴奋来到我面前告诉我：不管你如何变化，我都能算出你的周长C=a+b+c和面积S=1/2ah！

那天起，我便认定你是我的朋友了！

初一那年夏天，我决定带你认识我的三位挚友：角平分线、中线、高线。为了帮助你记住他们的名字，我告诉你可以称他们为“三线”！

初二那年，我先告诉你了我的两颗心：重心和垂心！

一.重心

三角形的三条中线的交点叫三角形的重心.

如图,点G为三角形的重心,则有

1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 　　

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

二、.垂心

三角形的垂心是三角形三边上的高的交点。

如图点H即为垂心，则

1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。　　

2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。 　

你说我像云捉摸不定，其实你不懂我的心。

初三那年，你认识了圆，透过圆你了解到我另外两颗心：内心、外心。

三、内心

三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

如图点O即为内心，则

1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 　　

2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r

四、外心

三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心.(外接圆的圆心。)

如图点O即为外心，则

1、三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合。

你说我像梦忽远又忽近，其实你不懂我的心。

记忆的曲线是凸的，思念的曲线是凹的，遗忘你的点是不可能的。

五、旁心

三角形旁切圆的圆心即旁心，三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

如图点P即为其中一个旁心，则

1、旁心到三角形三边的距离相等。

2、三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。

你说我像谜总是看不清，其实我永不在乎掩藏真心。

我从未改变，只是把真实的自己完全展示给你！

你儿时算出我周长和面积的初心还在么？

我盼望着有那么一天：当你解衣欲睡，月色入户，欣然起行。念无与为乐者，遂想起我：重心、垂心、内心、外心、旁心，心心赤诚！

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