计算专题 | 基于相空间表征的菲涅尔衍射场采样分析 (Optica JOSA)

基于相空间表征的菲涅尔衍射场采样分析

Sampling analysis for Fresnel diffraction fields based on phase space representation

本期导读

正确的采样（Sampling）是衍射场数值计算的基本前提。当前的衍射计算算法的采样大多以衍射场的复振幅分布为对象，这对衍射传播公式是自然的。然而实际应用关注的对象却并非总是复振幅信息，例如在数字全息中全息图记录的是干涉场的强度分布，计算全息中波前调制器件通常对光场的振幅或相位信息进行调控，而计算全息的光学重建信号则更为关注其强度分布。当实际使用的对象在数值计算阶段没有被正确表征，数值模拟结果往往不能反映真实的光学效果，这将导致后续设计的算法失效。因此，对于不同的应用和需求，应对相应的衍射场物理量进行采样设置，确保数值计算结果可以如实反映真实的光学效果。

鉴于此，来自清华大学的研究团队基于相空间（phase space）表征方法，在空间-频率域中完整地分析了菲涅尔衍射场的复振幅、强度、振幅和相位分布的采样问题，系统地给出了上述物理量的空间带宽积（Space-bandwidth product，SBP）随衍射距离的演化规律，最小非均匀性采样数和最小均匀采样数，以及空间带宽积分布和采样需求之间的内在联系。该理论分析工作以论文形式发表在美国光学学会Optica旗下期刊《Journal of the Optical Society of America A》。

技术路线

空间-频率域分析的思想被Emil Wolf, Adolf Lohmann等普遍采用。Wigner分布函数（WDF）是其中一种空间-频率域，相空间图（Phase space diagram，PSD）则是WDF值不显著为零的定义域。相比较单一的空间域或频率域（傅里叶变换）分析，PSD从更高的维度分析信号，完整展现了信号在空间-频率域中的特征，诸如空间带宽积，全局/局部带宽和局部频率等信息。在空间域中，复振幅、强度、相位和振幅四者之间存在固定的数学变换关系，这意味着在空间-频率域，上述物理量的空间带宽积分布之间和采样准则之间存在一定的内在联系。该工作正是基于空间域关系进行展开。1. 复振幅分布菲涅尔衍射场的复振幅分布是输入场和二次相位因子的卷积，该卷积操作属于线性正则变换的一种，依据WDF的性质，复振幅的空间带宽积分布是输入场空间带宽积的水平切向形变，如图1所示。水平切向形变保持了复振幅分布的带宽和输入场带宽的一致性，也要求复振幅所需要的均匀和非均匀采样点数随着传播距离变大而增加。水平切向形变程度随着衍射距离的增加而增加。

图1. 复振幅的PSD：(a)传播距离小于L0/lB0；(b)传播距离大于L0/lB0. （白色箭头示意宽度为局部带宽）

2. 强度分布强度的空间带宽积分布在相空间中表现为复振幅空间带宽积分布沿着频率轴方向的局部自相关。因此，复振幅的局部带宽（而非全局）决定了强度的全局带宽，也即是强度分布所需要的Nyquist采样频率只需要大于复振幅的局部带宽的两倍，如图2所示。在衍射传播距离较近阶段，复振幅的最大局部带宽等于其全局带宽，因而强度的全局带宽是复振幅全局带宽的两倍。当传播距离增大到一定阶段后，复振幅的最大局部带宽开始小于其全局带宽，此时强度的全局带宽可以远小于复振幅的两倍，以至强度所需要的采样频率和采样数可以远低于复振幅的采样频率和采样数。局部自相关导致强度的PSD面积在任意衍射距离下始终是复振幅PSD的两倍，这意味在任意距离的衍射平面上，强度分布所需要的非均匀采样数是守恒的（该结论曾被A. VanderLugt在空域中分析给出）。

图2. 强度分布的PSD：(a)传播距离小于L0/lB0；(b)传播距离大于L0/lB0.

3. 振幅分布振幅的空间带宽积分布与复振幅的空间带宽积分布具有局部相似性。由于振幅分布不再确保具有带宽受限性（例如复信号为余弦信号），因此振幅的PSD和带宽使用均方根带宽（均方根带宽为能量主要集中的频域范围）进行表征。可以证明振幅的RMS带宽不大于复振幅的局部带宽。结合振幅和强度分布的WDF之间的关系可知，振幅的主要PSD分布图形是强度PSD的一半，如图3所示。因此，振幅分布所需要的采样资源约是强度所需要的一半。

图3. 振幅分布的PSD：(a)传播距离小于L₀/lB₀；(b)传播距离大于L₀/lB₀.

4. 相位分布相位的空间带宽积分布与复振幅的空间带宽积分布具有全局相似性。菲涅尔衍射中的相位分布可被分解为低频部分和高频部分的乘积。高频部分对应二次相位因子，在相空间中表现为过原点的斜线。低频相位部分的RMS带宽则类似于振幅，其不大于复振幅的局部带宽。低频部分的PSD与二次相位因子的PSD在相空间沿频率方向卷积即可得到不同衍射距离下的相位的主要PSD分布。可以看到相位的主要PSD分布与复振幅的PSD形状相似，表明其所需要的采样资源和复振幅近似相同。该全局相似性同时也表明了一般情况下相位相比振幅更加重要。 

图4. 相位分布的PSD：(a)传播距离小于L₀/lB₀；(b)传播距离大于L₀/lB₀.

上述的理论分析结果可直接推广至傅里叶域以及非傍轴的角谱传播。在傅里叶域，衍射场的复振幅为输入场的傅里叶变换，其空间带宽积分布为输入场空间带宽积分布的90°旋转，此时衍射场复振幅的局部带宽和全局带宽等同。在角谱传播中，衍射场复振幅的空间带宽积形状是输入场的非线性变换，但由于复振幅、强度、相位和振幅四者在空域中关系没有改变，因而分析所得结论依然有效。

图5. 不同场的空间带宽积的数值验证（离散WDF计算）

图6. Pearson系数验证采样准则的准确性.

总结

通过该研究可以获得菲涅尔衍射中不同场分布空间带宽积分布，以及所要求的最小均匀采样数、最小非均匀采样数以及采样带宽要求，这些采样结论为其他数值衍射优化算法的开发，例如计算全息图的再现像噪声抑制算法等提供了理论支撑。需要注意的是，该论文以一维信号为例进行可视化呈现，分析的结论可以直接推广二维信号。

论文信息：

• J. Xiao, W. Zhang, and H. Zhang, “Sampling analysis for Fresnel diffraction fields based on phase space representation,” J. Opt. Soc. Am. A 39(2) (2022).

技术详见：

https://doi.org/10.1364/JOSAA.440464

参考文献：

[1] M. Born and E. Wolf, Principles of optics: electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light (Elsevier, 2013). 

[2] A. W. Lohmann, R. G. Dorsch, D. Mendlovic, Z. Zalevsky, and C. Ferreira, “Space–bandwidth product of optical signals and systems,” J. Opt. Soc. Am. A 13(3), 470–473 (1996).

[3] A. VanderLugt, “Optimum sampling of Fresnel transforms,” Appl. Opt. 29(23), 3352–3361 (1990).

[4] A. W. Lohmann, “Image rotation, Wigner rotation, and the fractional Fourier transform,” J. Opt. Soc. Am. A 10(10), 2181–2186 (1993).

*该技术分享所涉及文字及图片源于作者论文和网络公开素材,不做任何商业用途。

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