相对论的音乐

《音乐是怎样算成的》

从毕达哥拉斯到勋伯格，一本看尽音乐与数学的爱恨情仇！

作者 阿里•马奥尔

译者 张岭

出版社 后浪|北京联合出版公司

简介：音乐中充满了数学元素，例如巴赫的作品就被认为包含着一种数学逻辑。但在本书作者阿里·马奥尔看来，音乐对数学造成的影响，不亚于数学对音乐的影响。在本书中，作者试图从历史的角度来审视音乐和数学之间的亲密关系。其中妙趣横生的人物逸事与缜密严谨的乐理、数学知识交织在一起，引导读者从全新的角度进入音乐和数学这两个既熟悉又陌生的领域，纵览音乐和数学几千年来的发展脉络。

作者简介：

阿里•马奥尔，曾任芝加哥洛约拉大学（Loyola University Chicago）数学史教授，知名科普作家，以色列理工学院博士，在各国知名学术期刊上发表过大量研究论文，涉及数学史、应用数学和数学教育等不同领域。

译者简介：

张岭，中国科学院地质与地球物理研究所理学博士，克劳利中文俱乐部创始人及教师；曾任伦敦大学学院地球科学系研究助理、斯伦贝谢伦敦研发中心研发科学家、斯伦贝谢开罗数据处理中心研发工程师等。

第一眼看上去，这两个人几乎没有任何相似之处：阿诺德·勋伯格身材不高，头发秃得仅剩下头顶一圈，双眼总是闪烁着紧张和兴奋的光芒；比他年轻四岁的阿尔伯特·爱因斯坦身材粗壮，头发乱蓬蓬的——这副尊容让人印象深刻，他的眼神深邃而宁静，似乎能穿透你，直入无垠的时空。在性格方面，他们也分属两个世界：勋伯格总是对自己的历史地位有着清醒的认识，他常常以第三人称谈论自己，容易被激怒，在批判他的反对者时更是直言不讳；相比之下，爱因斯坦似乎包裹着一层大象皮，无论是如潮而至的批评，还是蜂拥而来的赞誉，他均视若无睹。他对自己思想的正确性极为自信，但也保持着足够的谦逊，因而不会得意忘形。

尽管存在以上种种差异，他们的生活却极为相似。两人的生日仅相差四年，阿诺德·勋伯格出生在维也纳，阿尔伯特·爱因斯坦出生在德国的乌尔姆；他们都来自中产阶级犹太家庭，在德国—奥地利文化传统中成长。他们的母亲都叫保利娜（Pauline），都是小有成就的钢琴演奏家，所以这两个年轻人都很早就接触音乐。他们早期都笃信宗教，但爱因斯坦后来排斥任何有组织的宗教，勋伯格——当时依然在其姓氏中使用德语变音字母——却在 24 岁时皈依基督教。在后来的人生中，由于受到反犹主义（anti-Semitism）及随之而来的犹太大屠杀的深刻影响，他们均回归了自己的犹太身份。爱因斯坦明确认同他的犹太同胞，并成为犹太复国主义（Zionism）的狂热支持者，勋伯格则放弃了他所皈依的基督教，并在最引人注目的几部作品中重申自己的犹太信仰。

1933 年，纳粹党攫取政权，他们先后移民到美国，时间间隔还不到一年。勋伯格最初住在波士顿，后来又搬到了洛杉矶，在这期间，爱因斯坦到普林斯顿安家；他们都再没踏上欧洲的土地（尽管勋伯格的遗体被归葬在他的家乡维也纳）。勋伯格于 1934 年到达美国，并在 1941 年成为美国公民，随即将自己的姓氏拼写改成了“Schoenberg”；爱因斯坦在一年之后到来，他并没有改名换姓，但被迫按照美式英语改变了姓名发音［按照德语，其姓氏发音为“爱因史坦恩”（Einshtein）］。他们都热衷于自己的爱好，爱因斯坦喜欢拉小提琴以及驾驶自己的小帆船，勋伯格则是个技巧娴熟的画家，同时还是狂热的网球手。两人都喜欢做点小玩意：勋伯格设计了一台乐谱打字机；爱因斯坦和他的工作伙伴—物理学家利奥·齐拉特（Leo Szilard）—一起发明了冰箱，并获得专利。当纳粹政权将德国大学的犹太裔教授全部扫地出门后，他们不知疲倦地帮助这些背井离乡的学者在避难国找工作。到了晚年，两人均受到新成立的以色列国（State of Israel）的敬仰，爱因斯坦被邀请担任以色列的第二任总统（但他谢绝了），勋伯格则当选为以色列顶级音乐学府—耶路撒冷鲁宾音乐学院（the Rubin Academy in Jerusalem）的名誉院长（他接受了这一任命，却因为健康状况恶化而无法就任）。他们均享年 76 岁，先后离世的时间间隔正好和生日的间隔一致。

从某种意义上来讲，他们的人生历程也颇为相近。两人都以低级职员的身份开始职业生涯，勋伯格在维也纳一家银行 上班，爱因斯坦则在伯尔尼的瑞士联邦专利局（Swiss Federal Patent Office）谋生。勋伯格基本上是自学成才，他从没有接受过正规的学院教育；而爱因斯坦虽然毕业于苏黎世大学（University of Zurich），但他后来所需要的全部知识均是自学 19 世纪的经典物理学论文所汲取到的。他们都深深地沉浸在 19 世纪欧洲的古典世界之中，这个世界的擎天柱是音乐界的约翰内斯·勃拉姆斯、古斯塔夫·马勒和理查德·瓦格纳，还有物理学界的迈克尔·法拉第、詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）。然而，勋伯格和爱因斯坦所做出的成果与他们的前辈相比，可谓泾渭分明；他们的思想具有革命性且充满争议，在学者及大众中引发了激烈的争论。

1905 年，爱因斯坦那篇关于狭义相对论的论文横空出世，随即他就开始构思广义相对论。他的目标是提出一种新的引力理论，其中，时空的曲率这种超越了“平坦的”欧几里得空间的认识，将取代牛顿力学中关于超距作用（action at a distance）的概念。为此，他耗费了远超过预期的时间，整整 10 年都埋首其中。1915 年 11 月 25 日，爱因斯坦终于形成了最终的理论，并于次年公之于众。

广义相对论的核心是“等效原理”（principle of equivalence），据说，某天爱因斯坦在设想一个人从高楼坠落下来（并有幸存活下来讲述发生的一切）时，这一理论就出现在他的头脑中。爱因斯坦认为，坠楼的家伙根本感受不到任何重力的作用：他 / 她会失重。但是，假设同一个人被封闭在外太空的一架电梯中，远离任何引力的影响，那么当电梯突然以自由落体的加速度（9.81 米 / 秒²）被提升起来时，电梯内的人会感到自己正被一股重力压向地板；他们此时的重量和站在地球的固体表面时是一样的。“思想实验”（thought experiment）这种爱因斯坦最喜欢的思辨方式，让他坚信在加速度和重力之间没有任何分别。尽管电梯和地球是两种不同的参照系，但乘客的感受是一般无二的。

设想一下，有一束光通过一道狭缝射进电梯，打到电梯间的一面墙上。如果电梯相对于光源是静止不动的，那么被光束照射到的墙面高度与狭缝高度应该完全一致。然而，如果电梯处于加速上升状态，那么光束照射到的这一点的位置应该比狭缝稍低；同时，在乘客眼中，光束在电梯中的传播路径应该略微向下弯曲。如果乘客认为自己稳稳地站在地球上，就会将这种现象解释为平直的光线在重力的作用下被拽弯了。因此，爱因斯坦得出以下结论：引力会导致光线发生弯曲。虽然光线在两点之间总是遵循最短的那条路径，根据欧氏几何，这条路径应该是“直线”，但在这场实验中，它实际上变成了曲线：引力引起了时空改变，使它不再保持欧几里得空间中的那种平坦状态。至此，在这场纯粹基于假设的思想实验中，现代科学中最伟大的理论之一诞生了。

在上述实验中，我们假定想象的这个电梯飘浮在空旷的空间，远离任何引力的影响。但实际上，没有任何空间是真正空无一物的：其中充斥着星际尘埃、气体、行星、恒星和星系，它们中的任何一种都会对电梯施加引力。电梯内的观察者会解释说，似乎时空的几何形态（它已经不再是欧几里得空间中的平坦状态）在每一点上都是不同的；这些几何形态仅具有“局部的”时空特性。但是，这又再次引发了相同的问题：当观察者进行观测时，应该将物理定律用于哪个参照系？对此，爱因斯坦给出的答案是，从本质上讲，观察者均拥有自己的局部参照系，在时空中，该参照系通过局部的度量仅与距观察者无限接近的相邻系统有关联。

今天，当电视中出现宇航员在航天器里处于失重状态而飘来荡去的画面时，人们会认为这只是一种司空见惯的现象，等效原理已经不再构成谜团。但在 1907 年，当爱因斯坦开始思考引力的本质时，这一理论远非显而易见。那时，航空飞行尚处于起步阶段，太空飞行更是只停留在科幻小说里的情节里，普通人所能体验到的最高速度就是一辆飞速奔驰的旅客列车（实际上，许多早期流行的相对论的解释都因此而使用列车作为例子）。所以，还要再过上一段时间，等效原理才能得到人们的接纳。

就在爱因斯坦忙于构建广义相对论的同时，阿诺德·勋伯格开始考虑一种新的作曲体系，他希望这个体系能够取代历史悠久的基于音调的音乐。1908 年，他开始致力于此，同时谱写了《第二弦乐四重奏》（Second String Quartet，作品 105 号）。这部作品至少在两个方面别具一格：它的最后两个乐章加入了一位女高音的声音，而且最后一个乐章没有任何音调，也就是说，该乐章是“无调的”。勋伯格自己并不喜欢“无调的”这个描述性的词汇，他觉得这会被误读成其作品缺乏结构性。恰恰相反，他始终强调自己的音乐具有非常严谨的结构；只不过，这不是一种“调性”结构而已。他喜欢一个名字——“泛调性”（pantonal）音乐，在这种音乐中，所有的乐音均享有相同的地位。

勋伯格又花了 12 年时间完善这一新的体系。他将其应用于两部均完成于 1923 年的作品：《五首钢琴曲》（Five Piano Pieces，作品 23 号）和《小夜曲》（Serenade，作品 24 号）。这一新的体系遵循严格的、数学般严谨的规则，他将其描绘为一种“用 12 个相互关联的乐音进行谱曲的方法”，也就是取自半音音阶的 12 个乐音。它们可以按照任何次序排列，但是当一个“模进”（sequence）结束之前，每个音符仅能出现一次。模进又被称为“音列”（tone row 或者 series），是勋伯格所建立的新体系的核心。他称该新体系为“序列音乐”（serial music）或者“十二音音乐”（twelve-tone music，或“dodecaphonic music”）。

在每一个音列中，都遵循彻底的民主原则：12 个乐音的地位完全相同。在调性结构中，每一个音符都与主音有着特定的音乐关联，但这种结构已被抛弃。从此以后，只有每个音符“相对于之前的那个音符的位置”才是重要的，你姑且可以称之为“相对论音乐”（relativistic music）。正如作曲家兼指挥皮埃尔·布列兹（Pierre Boulez，1925—2016）所言：“有了它（十二音体系），音乐走出了牛顿的世界，进入爱因斯坦的世界。”确实如此，勋伯格自己也将其音乐同爱因斯坦的广义相对论加以比较，因为在广义相对论中，所有参照系的地位都是平等的。

在勋伯格的体系中，音列取代了传统的主题，或者说旋律主题（melodic subject），后者已经统治了古典音乐长达 300 年之久。一旦在音乐作品中引入音列，音符便均能依据严格设定的规则变换它们在音列中的位置：演奏时，它们可以向后移动（即逆行，retrograde motion），或者反行（inverted，即顺序颠倒），又或者反行逆行（retrograde inversion）。依照对音列最严苛的定义，每个音符都应该具有相同的节拍，即同样的延续时间，这样就可以避免某个音符较其他音符拥有更高的权重（尽管勋伯格后来放宽了这一规定）。如果其内部结构保持完整，那么整个音列也能被向上或者向下做出调整，移动若干音级。这些规则不但适用于音列的旋律或者“横向的”曲段，也适用于其和声或者“竖向的”内容。具体而言，勋伯格排斥任何协和和弦，因为它们作为协和音具有主调的特点。然而，勋伯格还是对这些严格的规则做出了让步，允许单个音符向上或向下移动任意八度。事实上，这就让八度在他的音乐中成为依旧保持“绝对”状态的唯一音程。

半音音阶中的 12 个音符，每一个在音列中仅出现一次，将它们排列组合在一起，就为作曲家提供了数量惊人的选择，其精确数量为（此处不考虑八度的移位）：

1×2×3×…×12 = 479,001,600

这些选择中的任意一个都可以被视为一个音列，并且能被用作一部新的音乐作品的主题。例如，图中显示展示了勋伯格的《乐队变奏曲》（Variations for Orchestra，1928）中的原始音列，紧随其后的就是该音列的三种变化。

随后，该音列可以按照诸多方式发展，但始终遵循上述规则。从这种意义上，音列音乐与其想要取而代之的调性音乐并非完全不同。而它之所以有别于后者，是因为它根本就没有调性：没有任何音符遵照某个主调。仍然保有特权的音程是八度；在音列音乐中，绝对平等主掌着一切。人们很难不去注意勋伯格的体系与广义相对论之间的相似之处。

勋伯格的《乐队变奏曲》的音列序列：（S）原始音列，（R）逆行音列，（I）反行音列以及反行逆行音列（RI）

1916 年 3 月 20 日，爱因斯坦将有关广义相对论的论文提交到《物理年鉴》（Annalen der Physik）；勋伯格则在 1923 年完成他的前两部音列音乐作品。然而，这两位具有远见卓识的人物依然无法完全摆脱古典的 19 世纪思想根基，并均在晚年回归到各自的思想本源。爱因斯坦顽固地抵制对量子力学所做的全新概率解释，直到生命的最后一刻他都坚信，即使是在亚原子层面，物质也是有确定性的。“上帝不会掷骰子”（God does not play dice）大概是他最有名的格言。勋伯格则部分地回归到调性音乐的创作中，“用 C 大调还可以写出许多优美的音乐”，晚年的他如是说。似乎是为了证明他的正确性，在 1938 年至 1940 年间，他的仇敌兼对手伊戈尔·斯特拉文斯基创作了《C 调交响曲》（Symphony in C，虽然作品的标题并没有说明它是 C 大调还是 C 小调）。最终，调性音乐并没有完全消失。

勋伯格的音乐是否受到爱因斯坦相对论的影响？尽管没有任何可靠的证据支持这种联系的存在，但人们依旧会如此联想。相对论不仅对物理学界，而且对公众均产生了深远的影响。有的人对物理学所知甚少，却开始使用相对论的概念，认为世间万物都是相对的。事实上，的确有一个新的词汇被创造出来，这就是相对主义（relativism），它几乎适用于一切事物，从萨尔瓦多·达利（Salvador Dali）所绘的《记忆的永恒》（The Persistence of Memory，1931）—在这幅画中，一个变形的时钟呈现出某种时间上的扭曲，到政治、道德以及各种社会议题。很快，社会相对主义（social relativism）就成为学术界热衷的话题，特别是在人文科学领域。因此，相对论的某些影响在有意无意间进入到勋伯格的音乐中，也并非不可想象。

1934 年，爱因斯坦和勋伯格曾经有两次简短的会晤，第一次是勋伯格在普林斯顿大学做报告，另一次则是在纽约卡内基音乐厅（Carnegie Hall）举办的一场为在巴勒斯坦安置犹太儿童而筹款的活动上，爱因斯坦当时以嘉宾的身份出席。爱因斯坦最喜欢的作曲家是巴赫、莫扎特和舒伯特，他认为勋伯格及其音乐是“疯狂的”。他们两人有一张合影，拍摄于卡内基音乐厅里。不幸的是，没人知道他们到底聊了些什么。

1934 年，爱因斯坦和勋伯格在纽约的卡内基音乐厅。

转自科研圈，文字来源《音乐是怎样算成的》