徐利治：谈谈我青少年时代学习数学的一些经历和感想
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谈谈我青少年时代学习数学的一些经历和感想
作者：徐利治
我很高兴来到北京师范大学,也很愿意谈一谈与数学教育有关的事情.因为文化教育是国家大事,而数学教育是文化教育中的最重要的组成部分.
我要谈的几部分内容:第一部分是简历;其次谈一谈青少年时代学习数学的印象;第三,经验;第四,一点感想;最后谈谈我人生的格言,学数学的经验总结.
1. 我的成长经历
1920年9月,我出生于江苏省沙洲县(今张家港市),沙洲属于常熟县,解放后改成沙洲市.再后来又改成张家港市.我的小学时代就是在老家沙洲度过的,1937年我考上了一所师范学校——江苏省立洛杜乡村师范学校,是以培养乡村小学教师为目标的,全部公费.
这段经历对我人生来讲非常重要.假如我没有机会进江苏省立洛杜乡师的话,可能我就没有生存机会.因为家境清贫,中学的学费很贵,一般地讲半个学期中要60到70银元,当时我父亲去世了,学费无论如何是凑不出来的.
那个时候,江苏省从南京到上海,叫沪宁县,有四所著名的省立师范学校,南京的栖霞乡师,无锡的洛杜乡村师范,苏州有吴江乡师,上海的黄州乡师,这四个乡村师范学校很难考,我就读的洛杜乡村师范当时在四所乡村师范中是水平最高的.每年都有好几百人应考,每年只录取一个班,45人.如果考取以后,全部公费,连饭钱都不用花,甚至还有一些零用费.所以我要感谢乡村师范对我的培养教育.乡村师范的教育课程基本上相当于初中,而且考进乡村师范的学生都很优秀.我的同班同学基本都是小学第一名.跟我一起去考的人,第二年都没有考取.所以乡村师范的学生水平相当高,考乡村师范不见得比现在高中考大学容易.
1937年,日本的侵略战争开始了.这年冬天,我们五个同学,徒步旅行到安徽,安徽安庆的轮船把我们带到武汉,住江苏难民收容所.过了一阵,教育部流亡生登记到贵州的中学去读书.我就到了贵州铜仁国立第三中学师范部学习,这是高中师范.刚好跟我的乡村师范学习接头.1940年到贵阳参加大学统一招考,我就考上西南联合大学的数学系了.
进大学前接受的是师范教育,所以对师范教育有特殊的感情.如果没有抗战,我读不了大学.1938到1940年,我在贵州铜仁国立第三中学师范部学习,相当于高中阶段.1941到1946年,我在昆明西南联合大学学习和工作.
下面谈谈我青少年时代学习数学的印象.
2. 青少年时代学习数学的印象
回忆起来有些人是我终身难忘的,他们是虞明礼,吴在渊,陈建功,何鲁,章克标和刘熏宇.这些人给我的青少年时期留下了深刻的记忆,半个世纪过去了,我的印象依然很清晰.
我在洛杜乡村师范读的是虞明礼编写的代数课本.这本书给我留下了很深的印象,讲得很清楚,例子也讲得很明白,有的东西自己就能看懂.
吴在渊是上海大同大学教授,他是自学成才,编了几何、代数课本,也发表一些初等数学的文章.
陈建功和毛路真合编过一本《高中代数》,我进大学以前翻阅过,他的《高中代数》主要是参考《大代数》写成的,比大代数要精简,在一些大的老的图书馆说不定还能找到这本书.
何鲁早年留学海外,在抗战时期培养了很多学生,当时已经是中央大学等很多大学的教授了.何鲁出过一些初等数学的学习参考书.他编的书都是印得很漂亮的,有《虚数详论》、《行列式详论》、《二次方程详论》等等.我买了两本,分别是《行列式详论》和《虚数详论》.他的书是课外看的.刘熏宇先生的《数学的趣味》使我对数学产生了浓厚的兴趣,此书是解放前开明书店出版的.初中时,我读了这本书明白了数学归纳法是怎么回事.
章克标也出了一本《算术的故事》,讲很多数学家的故事,讲古代的数学家,阿基米德,拉格朗日等.看了以后非常受启发.高斯,拉普拉斯都讲过,每一个传记前面都有照片.
还有一本,是陈文翻译的《查里斯密大代数》,对我的影响很大.那个时候在乡村师范,相当于初中阶段,数学老师不是数学系毕业的,是武汉大学理化系毕业的,所以数学教师很一般.但是教科书,还有课外一些读物比较好.我们在那个环境下有充裕的课外时间,一方面听听课,另一方面主要是看看课外书.有很多好处.
而且我还看到严济慈写的一本几何教材.但我们没有用它作教本.老师是根据《平面几何》来教的.它的演绎证明对青少年很有好处.演绎论证方法给我当时印象很深,逻辑演绎的每一步都有所根据.
到了贵州铜仁,我又看了高等代数.在无锡买的《大代数》,我自学了一部分.因为高中师范不会讲太多的东西,都是我自己看,看得很费力.但是我的基本功得益于大代数.
十年前我到北京参加过一个会,碰到了我清华的一个老同事,年龄比我小两岁,叫周毓麟,后来是院士.他说:“我现在所以还能做计算数学方面的工作,实际上得益于高中时代的大代数,他说没有大代数的功夫啊,现在的计算是算不出来的.”我的体会也是如此.讲行列式,讲到拉普拉斯展开,用子行列式的展开,整个行列式的值.我都能看懂,看了很有好处.这些定理都是大学线性代数里讲的.可是在进大学之前我就懂了.棣美弗定理复数的开方根,,很清楚.这个得益于大代数,所以,进入大学之后,由于大代数的底子,感到微积分容易,特别是初等微积分,我感到很容易,直接看就能看懂.微积分包括高等微积分,我都清楚得很.一些计算的难度还超不过大代数.这是我的个人经验.所以解放前我的印象是大代数的基本训练非常重要.
可惜解放后,看到我的孩子们的教材,相当于小代数.解放后的代数以小代数为主.解放前,我进大学以前,虽然读的是高中师范,但是朱正青老师给我们讲解析几何,解析几何我也学得很懂,二次曲线的分类都基本明白的.椭圆、双曲线、抛物线,哪一个类.我们都基本会的.而且理由也懂的.这些东西,在解放前,我们基本掌握,非常有益处.我在大代数里面学到初等概率论,排列组合,非常有兴趣,很好.还有级数论,无穷级数,根值判别法等,都弄懂了.高中生能弄懂的,并不难.方程中有一个定理是难的,给一个区间,要求方程在这里面有多少个实根.这个我觉得很难,我当时花了很多时间.进大学之前,我对代数很有兴趣.有一个定理弄不懂的,叫高斯的代数基本定理.根的存在性定理,《大代数》叫根源定理,根的来源.没有给出证明,而且我看对高中生很难.真正弄懂代数基本定理是在读了大学之后.如果把连续性概念给高中生作通俗地讲演,让高中生弄懂之后,我觉得代数基本定理可以在高中讲.可惜我在进大学之前.代数基本定理没有基本弄懂.这是第一个印象:小代数到大代数,得益于大代数.
第二个印象是兴趣很重要.前几年开会碰到了清华大学的同学,他跟我讲他之所以读数学系,是从几何学学出兴趣来了.几何学的演绎论证,严谨性好得很.我说你是从几何出发进数学系,我是从代数出发.虽然出发点不一样,但最后殊途同归.
第三,课外阅读对增强求知欲很重要.何鲁的书,科普读物,可以.读了非常有趣味.一定要让学生有时间课外读书.
第四个印象是习题自己做,平时不用交作业,没有负担,很感轻松自由.大家自己找题目做,做出来很有趣.做题由容易到难,先做容易的,一步步把难的做出来,做出来很高兴.从乡村师范,后来到贵州铜仁读高中师范,我的印象是老师不给我们批改作业的.一个学期,即使要交作业,只交一两回.老师不批改作业,所以我觉得那时的老师也轻松得很,只讲课,不批改作业.这些印象和经验,恐怕现在不能照搬.由于条件不一样,我只是把当年的情况提出来给大家供参考.
所以这是我的四点印象.
3. 我的经验
下面我就总结五点经验.
第一条:经典数学,好教好学.老师也很好教,学生也好学. 第二条:学通例题,很有好处.把例题学通,书中的例题很重要.书中的例题一定要搞得很透彻、明白.书上的例题都是很典型的,都是有启示作用的. 第三条:多做习题,没有必要. 第四条:批改作业,可以精简. 第五条:课外读物,很起作用.
对青少年学习数学有几忌.
二忌教材中概念名词太多.概念名词太多,青少年没有兴趣.因为青少年思维发展过程是从具体到抽象,从感性到理性.这个过程是发展的.数学课一下子出现很多名词概念.而且叫学生背啊,那是扫兴.另一个,我认为数学本身是优美的,强调趣.趣是有趣,兴趣.不可以割裂从生动直观到抽象思维天然的桥梁,这种认识过程应该体现在数学教学和教材中.不要破坏学生的好奇心和求纯求美的天性.理论联系实际是重要的,但不可以严肃化.所以要利用中学生的好奇心,数学教材教法要体现这个精神.
下面讲讲我学数学的人生总结.真正数学学好的人都有这样类似的体会:
“兴趣使人忘却疲劳;志趣使人精力持久;乐趣使人精神充实;三趣具备,自学必有所成,能享健康长寿,且能成为后辈存在的铭记.”
很感谢他们把它收藏进中华名流格言里去.我在长春中国人民大学(后改成吉林大学),教了几十年的书,感到人生非常愉快.教学科研精力持久.数学教学跟科研结合,教学相长,通过教学,通过科研,我在吉林大学数学系教了十七门不同名称的数学课程,增长了很多知识.教学相长.我提倡我的研究生,我的助教,鼓励他们多教课,不要选择课,代数几何分析什么都教,要把兴趣扩大.提高水平,做研究最后就能够集大成.我现在八十七周岁加一个月,一点病都没有.我的健康得益于搞数学.我从事数学学习、教学、科研、实践,已经把我身体搞得很健康了.所以前几年吉林大学数学系邀请我去开会.我没有去成.我就写了一封信,总结数学与我的关系:数学使我快乐,数学使我健康,数学使我长寿.我相信,再过两年、三年我到九十岁,我讲这个话就更有资格了.
附:答老师同学问
王昆扬(北京师范大学数学科学学院教授):解放后,近些年数学教科书杂质比较多,您觉得原因是什么?
答:我觉得原因是多方面的.其中一个原因,我想啊,解放后提倡大家政治学习.政治学习里边提倡辩证法唯物论,这个我觉得是完全正确的.搞辩证唯物主义是对的,其中有一条,就是“理论联系实际”强调得非常厉害.
特别有些政治运动.不联系实际不行,而且我们搞理论经常受到批判,我本来也受到过批判.说我们理论不联系实际.因此呢,理论联系实际就成了大家的挡箭牌和护身符.写教科书的人一定要强调理论联系实际,开会一定要强调理论联系实际.理论联系实际并不错,我现在还赞成理论联系实际.但是它严肃化了,严肃化了的程度,最突出的例子就是文化大革命期间,清华大学编的一本两毛钱能买到的微积分书,一把大锄通往微积分,但是联系实际严肃化了.中学老师、编中学教材的一些人、教育界的一些人都要强调实际.强调联系实际是对的,但是偏了,他们对联系实际的意义不了解,对联系实际的理解不深刻.其实数学理论联系实际啊,有一个人跟我讲的话我很赞成:“数学是联系联系实际的学科.”,工程科学、物理科学联系实际近了,我们数学科学可以联系这些东西,他们需要用到数学.两个联系啊,前面是动词,后面的联系是一个形容词.它是间接联系,数学联系实际是间接的.你不能说你学了数学,马上到生产车间去,马上到实践去.这不可能啊,不容易的.运筹学当然是另外一个分支,也是很起作用的.
所以有些教材,讲联系实际可以到高年级.到大学,搞应用数学、经济数学、生物数学当然联系实际了.这个一步一步来,而不能在中学教材里把这些东西变成杂质搞到教材里面去.我们以前学的东西都是很纯的,有趣的东西.基本东西学到手了,根深蒂固、终身难忘.(这些知识)学到手以后再解决实际问题不就方便了吗?
代钦(内蒙古师范大学教授):徐先生讲到当时学生作业很少,但现在一般的高中里面,学生的作业太多.如何解释这种情况?
答:不用做那么多题目,培养数学人才也好,非数学人才也好,都不用做那么多题目,浪费.
搞数学的人不用做那么多题目,大多数人更不应做那么多题目,这是我的经验.
王昆扬:我听了徐先生的报告,我是晚辈了.我们相差不到30岁,但也64了.您说的兴趣、志趣、乐趣,虽没能体会得深,但也很有体会.我学数学也是得益于这些东西.我觉得许多事情没有是非判断,唯独数学,对就对,错就错.你也没法儿给我较真,对不对?我学数学,学到后来,我也喜欢下棋啊,一做数学难题,我觉得比下象棋还有乐趣.这个是天生的,这就是乐趣,有了乐趣才有志趣,对不对啊?上大学的时候,我们大学的招生简章就是培养科研人才,当时我就想我是不是得研究点什么,有了兴趣,那么接着就有点志趣.这个志趣正值运动中破灭了,然后花了12年,把青春献给革命路线.后来还是得到了乐趣,回到北师大,又教了差不多30年书,刚才提到了一些具体问题,这个说起来话就长多了.我非常赞成您的非常深的一些体会;您说数学的“纯”,我就喜欢纯数学.国外的数学系有的就叫Pure Mathematics,我还是比较喜欢“纯”.学纯数学的人并不都是那些不会应用的人.
答:谢谢!这是我们数学家的一些共同体会.
王昆扬:2000年,我们讨论新课标,当时有那段文字,我不知道删掉了没有啊.说汽车在前面走,下了雨,从雨水的反光里看到车牌号.这跟数学有什么大的关系啊?这不美啊.这样数学就不太严肃化了.它不是这么回事儿.数学最大的功能是什么?您总结的它是联系联系实际的学科,间接联系.我教的是那个本事,教的是素质,推理的、应用的.我不是学半导体,但我学完数学后,对半导体会学得更好.对你的话,我是坚决地拥护。
答:你学好了数学,再去联系实际的话,你的实际能力反而强了.
孔凡哲(东北师范大学教授):弗赖登塔尔提出“学数学实际上是学数学化.”,您能不能谈一谈“数学化”?
答:“数学化”的概念非常广,这个要解释起来很多.陈省身先生,西南联大的,跟华罗庚先生同时代的,几年前,他说在欧洲留学时,到德国,后来到法国,他说国外的数学家都是强调数学是追求简单化.Mathematics is for easy.追求简单,简单作一个名词用.例如微积分基本定理就是基本的、核心的东西,是简单的.如果没有数学,物理中的力学要表示运动规律,话就说不清楚.数学使物理学简单化.数学,它实际上是使其它学科简单化.你们想想看,假如没有数学的话,没有微积分的话,非用微分方程表示的力学运动规律就不能实现.数学使别的学科简单化.简单化,就是数学化.我提一个RMI(Relationship, Mapping, Inversion)原则,是方法论上的.用的是一个方法模式,模型化的方法.很多例子都可用这个原则解决.我们发现一些很难的问题,如高等微积分,通常用这个原则两回.还没有发现需要用三次的.如果一个问题非常难的话,要用次.这个原则物理学家可以用,提示物理运动规律.物理问题,变成数学问题,求解,繁衍下去,从而解决物理问题,数学模型化的方法也是一个例子.所以这个原则带有普遍性,这不是我发现的.我只是把它介绍给大家.概念映射是把实际问题概念化,也是一个映射.
代钦:您写了一本书,书名是《数学方论》.为什么不叫论数学方法?
答:这个要说明一下,数学方法不等于数学方法论.数学方法,规律法、演绎论证是数学方法;数学方法论不等于数学方法,它是对方法形成理论,它更高地概括总结一切方法,找出一切方法的共性.
一女老师问:兴趣对孩子发展很重要,我有一个困惑,我理解,觉得您产生数学兴趣有两个,一个是获得“结论—理由”的纯的数学;还有一个是何鲁和刘熏宇他们的数学科普有关.我认为他们一个是纯美,一个是丰富的美.在孩子的发展中,有没有对孩子影响一个先后的顺序.反思的就是在现在中小学教育中,我们应该多给他们一点什么?纯正美现在大家都认可,而科普呢现在孩子都很缺.
答:我认为解放初期,国家曾经出了一些科普的读物,包括华罗庚都写科普的书.有一点仿照苏联,因为苏联的一些专家都写了科普读物.早期的苏联数学家写的科普读物对高中生、大学生都起很大作用,都翻译成中文.我也见到几本,后来中国有一些专家写了一些科普读物.这个非常好,科普非常重要.我对数学发生兴趣,一个是学大代数,学平面几何,另一个科普读物对我是很有启发的.科普读物对有些数学方面的问题,它的观念是更高的,它还讲究趣味性.比如说我记得刘熏宇讲归纳法,他举了个例.他说火车啊,火车头一动,由于中间有联结,第一节动,第二节就动,第二节动,就传到第三节,第三节传到第四节,第节传到第节,那么整个火车就动了起来.虽然火车是有限的,自然数是无限的.但他这比方很生动.讲函数概念的时候,也讲了许多充实的例子.我觉得这些例子读了很有意思,对青少年很有好处,我赞成出版大量的科普读物.应该让专家、中学老师提供科普读物给中学生,我很赞成.而且要有正规教育来完成,因为正规教育讲纯的东西.但是科普读物和杂质不一样,它有趣味性,趣味性不算杂质.例如七桥问题,通过概念映射,它转换为一笔画问题,再翻译回去,从而解决七桥问题,这种问题它有趣味性,它的启发性很强.它与给中学生讲车间的生产,讲股票的投机是两码事,它不是杂质.数学界应该多出一些象高士其这样的人物.大学老师、如果是有经验的中学老师都可以写,研究生如果文笔很好也可以写.
张英伯(北京师范大学数学科学学院教授):现在教辅材料很多,科普读物少.您对现在的精英教育有何建议?对于现在的博士生的培养,可以说是高层次的精英教育.您有什么建议?
答:我不是很赞成精英教育.因为教育是面向大众的,Education is for majority,教育有群众性.美国的教育直到硕士研究生都是通才教育.到博士生才是专才教育.专才教育很重要,不可缺,但是整个教育来讲特别是基础教育来讲,还是要面向大众的.所以我并不是很赞成把少数天才儿童集中到一个学校去培训.以前,科技大学做过这样的事,据说事后效益不太好,好多人转行.所以我不是很赞成精英教育.有一次乘火车到广州去,同火车有一个人,他是搞体育的.他说体育有竞技体育和国民健康体育.对国家来讲,竞技体育当然要搞,但是作为国家富强来讲是靠国民健康体育.他讲的话对我有启发.所以我对精英教育不反对,但不提倡.
关于博士生的成才问题,我鼓励博士生面向名家原著学习,这样对发展自己的水平很有利.
- END -本文转自：《数学通报》2007年46卷12期