伍鸿熙：凤凰涅槃——让核心数学标准焕发生机
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凤凰涅槃——让核心数学标准焕发生机
作者：伍鸿熙, 美国加州大学伯克利分校
译者：赵洁
摘要：伍鸿熙是美国加州伯克利大学的教授, 世界知名的几何学家．十几年前, 伍先生开始参与美国的中小学数学教育, 是美国国家数学委员会的成员．本刊发表伍先生最近的一篇文章, 以飨读者．
作为一位数学家, 伍鸿熙先生对中小学数学基本概念的诠释精辟深刻, 读者可以看到他在本文中对分数的引入, 对负数的运算所做的阐述有多么精彩．
作为一位有责任感的公民, 伍鸿熙先生为改进美国的中小数学教育殚精竭力, 倾注全部心血主持制定了现在美国各州的共同核心数学标准, 编写了培训中小学数学教师的教材．
伍鸿熙先生对中小学数学教育事业的执着, 务实与奋斗, 是数学家与数学教育家共同的楷模．
在过去二十年间, 美国州立和国立的许多版本的数学标准不断地鲜活登场．2010年6 月公布的州共同核心数学标准(以下简称核心标准, 见http://www.corestandards.org), 已经被几乎所有的州接受, 并将于2014 年起逐步在全国启用．这个标准会不会与绝大多数其他标准一样, 成为另一个会被遗忘的数学标准呢？可能会．但是不同于其他标准, 如果这个标准被遗忘了, 那将会是一个荒谬的错误．这个标准与大多数其他标准的主要区别在于, 核心标准总的来说在数学上非常可靠, 它终于可以为编制合理的中小学数学教科书以及为更优质的教师培训提供根据了．
在核心标准出现之前, 美国全国长期抵制标准和课程的统一化——但在现实的课堂上并不拒绝这样的统一化．尽管一些政客大肆鼓吹地区自治的好处, 但是实际上存在全国性的数学课程已经大约有几十年了, 这样的课程是由中小学数学教科书决定的．虽然有许多种广泛使用的教科书, 但是从数学角度而言它们是非常相像的．我们把这种实际上存在的数学课程称为旧式教科书影响下的中小学数学(以下简称旧式数学)．在旧式数学中, 通常不给出精确的定义, 也几乎不会提供逻辑推理(除了高中几何课本), 因为发行商误以为有直观论证和类比就足够了．于是, 分数既是一个整体的部分, 又是除法, 也是比例(令人无法理解)；小数是通过类比自然数来讲解的, 与分数教学没有联系；负数是通过表格和隐喻的方法讲解的；初等代数的中心思想则成了介绍变量的概念, 而代数本来应该让学生学会流畅地使用符号, 以便进行一般的计算；解方程被解释为, 在天平上借助平衡来衡量变量, 等等．
更糟糕的是, 以旧式数学为背景, 当下数学教育界盛行着一种教条, 即, 一组数学标准的主要目的, 要么是从一些经过考验且切实可行的课题中选出一些来(当然是选自旧式数学), 并对它们进行审慎的组织和安排, 要么是改变这些课题的教学方法．例如, 加利福尼亚州的数感标准要求, 在五年级, “学生会对分数和小数进行加法、减法、简单乘法和除法运算, 并解决涉及到这些运算的问题”, 根据旧式数学, 这个标准被理解为, 所有的课堂将对分数做以上算术运算．从这个观点看, 上述标准的关键是, 这些分数运算要在五年级讲授．事实上, (早于核心标准的)数学标准的目的看起来似乎正是要确定在哪个年级讲哪些课题．通常, 判断一个标准好不好, 是看某些课题引入得有多早；因此, 在五年级完成分数加法和减法的任务, 被看成是一个好的标志．基于同样荒谬的理由, 如果一个标准要求在三年级初的时候记住乘法表, 或者在八年级讲解代数Ｉ, 那么人们就认为它是一个严格的标准．
核心标准向这一教条发起挑战．重要的是, 核心标准不是钟情于那些毫无意义的加速比赛——尽可能早地讲授每一个课题——尽管拒绝这样做已经在一些地区引起了恐慌．比方说, 核心标准在八年级不讲完代数Ｉ的全部课程, 而是用大部分时间来学习几何, 因为在理解线性方程的代数时需要用到几何知识．但是, 核心标准的真正的贡献在于, 它们坚持改正旧式数学中的种种错误．通过与过去多年来的标准的对抗, 核心标准认识到, 旧式数学与真正的中小学数学之间存在着一道巨大的鸿沟．核心标准的独特见解是, 旧式数学中大多数课题逻辑发展的缺陷是真正阻碍数学教育任何一点进步的绊脚石, 而不在于标准中多早或多晚安排每个课题．正如谚语所言, 根不正, 苗必歪．如果我们想让学生学会数学, 我们就必须把数学教给他们．不论是先前的数学标准还是它们所依据的旧式数学, 都没有做到这点, 但是核心标准做到了．
除了常常缺乏推理之外, 旧式数学把像数学这么具有连贯性的一门学问变得无异于一堆把戏．它使学生觉得第一年学会的东西第二年就可以忘掉了．与此相反, 核心标准在大多数情况下都成功地保持了年级到年级之间的连续性．一个最重要的例子可能是从八年级几何到高中几何之间的连续过渡．事实上, 核心标准成功地把几何纳入到整个中小学数学体系中．核心标准中的数学终于开始看起来像数学了．
不幸的是, 尽管教科书的编者们已经开始承认, 核心标准与它的前辈们有着根本的不同, 但是大多数(几乎全部)教科书的编者在宣称自己与核心标准保持一致之前, 只是对他们的书本做了很细微的修订．千万别被愚弄了．旧式数学实在太含糊不清, 并且有太多太多的错误, 因而很难与核心标准相一致．举个例子, 当美国数学咨询委员会对两本广泛使用的代数教科书进行复审时测定它们的“错误集中率”(定义为错误总数除以该书的页数), 人们发现, 第一本的错误集中率有50%, 另一本只比它好一点, 也有41%．我们必须重新开始．因为对教师的数学培训长期以来都是以旧式数学为基础的, 所以职前和在职的培训都必须重新开始．
我们举两个例子, 说明核心标准将带给数学课堂的改变(前提是核心标准执行得合理的话)．
例1 分数加法
学生应当如何做加法呢？旧式数学中处理这个加法的方法是, 对于分数加法是什么含义一点儿都不说, 而只是描述加法的步骤, 找两个分母6和8的最小公倍数, 即24, 注意到, ．于是, 学生被告知用如下的方法做：
根据大家的共识, 这种步骤对五年级学生是毫无意义的．但是许多人还是死记硬背记住了它, 而且它的地位在旧式数学中已经根深蒂固．加法本来被认为是“事物的组合”．“组合”的概念太基本了, 常常在算术的一开始就讲过了．但是, 人们在用旧式数学中的方法计算的时候, 能看到一点点“组合”的影子吗？那些已经努力掌握了自然数加法的孩子们自然会希望分数加法也一样, 即“事物的组合”．但是当“分数加法”的讲解与“自然数加法”没有一点儿关系时, 毫无疑问, 一种莫名的恐惧就会油然而生, 那就是, 数学是不能理解的．事实上, 有报道指出, 许多数学恐惧症就起源于分数加法．
在核心标准中, 分数加法贯穿了三个年级, 从易过渡到难, 给学生时间让他们完全掌握．简短地说, 在三年级, 学生要学会把分数看成数轴上的一个点, 它对应“一些份”单位分数．例如,是5份单位分数(是1份)．当我们用数轴上的一个点来表示分数时, 如果把从0到1的单位线段平均分成六段长度相等的线段, 那么我们可以把诸如这样的单位分数放在0右边的第一个分点上．自然地, 可以把这样的点与0到这个点之间的线段等同起来．因此, 如下图所示, 与0到之间的加粗线段等同起来, 与0到之间的线段等同起来, 等等．于是, “是5份”获得了一个显然的直观含义：从0到之间的线段由5份从0到之间的线段组成．
在三年级, 学生也要学会等价分数的简单情形：与或是同一个点——即相等．这是因为, 当从0到1的单位线段被平均分成5段长度相等的线段时, 是第二个分点．当把这5条线段中的每一条都平均分成3段长度相等的线段时, 就得到了一个分法, 把单位线段平均分成了条长度相等的线段．于是很显然, 点与正好是同一个点, 即, 如下图所示．
在四年级, 核心标准要求学生把两个分数加法理解为拼接同一个整体的两个部分．把两个分数看成是线段, 在数轴上首尾相接, 它们的和定义为拼接而成的线段的长度．对于两个同分母分数, 相加的结果可以得到一个分数, 其分子就等于相应两个分子的和, 我们从一个例子可以清楚地看出这一点．证明．在下图中的数轴上, 表示加粗的线段．
因此, 表示2份加粗的线段, 表示5份加粗的线段, 所以“拼接”和得到份加粗的线段, 就是．因此, 分数加法在这种情形下就是“拼接线段”．
在四年级, 学生要超越简单情形去学习一般的等价分数．那么在五年级的核心标准中, 学生就可以处理任意两个分数的和了．当然, 求和的结果仍然由拼接部分线段得到：把两条线段首尾相连, 所以和就是总长度．这一点学生已经有准备接受, 因为通过使用等价分数, 任意两个分数可以被看成是具有相同分母的两个分数．例如, 和分别等于和, 于是就具有了相同的分母48．所以五年级学生很容易就可以对付我们最初提出的问题：学生应当如何用一种数学上合理的方法去做加法呢？有了核心标准三、四年级的牢固的基础, 他们就会知道, 这个加法问题就等于问下面拼接成的线段有多长．
所以, ．这与前面的答案一样, 因为根据等价分数, ．因此, 学生可以看到, 分数加法就是“事物的组合”．顺便提一句, 这里并没有提到8和6的最小公倍数, 而且本来就不应该提到．(我指出这一点, 不代表我赞同通常坚持每个分数都要化为最简形式的做法．对于这样的做法, 在数学上没有什么正当的理由．我这样做只是为了证明我们从不同的方法得到了相同的结果．)
我希望从这个例子开始澄清旧式数学与核心标准的巨大差别．分数加法是一个基本的课题：旧式数学给学生(和老师)展示的是一堆花招, 而核心标准要求学生真的学会数学．
例2 负数的乘法
为什么？这在中小学数学中很有可能是被问到的最频繁的问题：为什么负负得正？根据旧式数学, 答案可以用表格给出．对于特殊情况, 我们来观察如下, , , 和的值：
．
这是一个明白无误的表格：每一行的答案由上一行的答案加3得到．
因此, 从最后一行开始, , , , , 而且如果我们也考虑, 等, 表格当然会继续下去, 但是如果我们现在从, , , 和这个方向继续这列乘法, 那么接下来的两个式子将是？？
有了刚才观察过的表格的支持, 我们很有信心地认为, 是由(即0)加3得到：．类似地, 是由加3得到：．
这样解释可行吗？不行．其中存在两个问题．首先, 如果我们不是处理整数的乘积, 而是考虑像这样的分数乘积, 那么经过简单地思考就会得出, 用表格进行这样的推理是完全没有说服力的．其次, 我们必须解释, 为什么表格应当总是沿着, , 等等继续下去．说得更详细些, 这个表格要求学生相信
,
,
, 等等．
在这些式子中, 最重要的是第一个式子：．如果我们知道它, 那么不管有没有这个表格, 我们都将得出其余的等式, 原因如下．分配律描述了乘法如何作用于（几个数的）加法,该定律是说,如果是任意三个数, 我们总有．因此, 例如．所有正数和负数都遵循分配律, 这个事实是数学中的一个重要的假设．现在, 如果, , 那么我们有．利用这个事实以及假设, 我们就可以得到：
根据同样的理由, 只要我们假设, 就能得到, , 等等．但是如何能知道呢？在旧式数学中没有答案．这就是旧式数学的本质缺陷：它总是满足学生一半的求知欲——但是由于数学特有的精确性, 这样就等于学生一点儿知识也没有学到．
现在我们来看看核心标准如何解释这个问题．在理解负数这样更宽泛的背景下, 重要的是让学生对“负数是什么”有一个清晰的概念．
负数应当是一个具体的东西而不是什么不可言喻的哲学思想．为此, 核心标准像处理分数情形一样重新回到数轴(这是数学纵向连贯性的一个简单例子：分数和有理数由数轴统一起来)．核心标准中六年级的一个条目如是说：
认识到, 两个数的符号相反意味着这两个数位于数轴上0的两侧；认识到, 一个数的相反数的相反数是它本身, 例如, 0是它自身的相反数．
在数轴上, 负数是位于0左边的点．更精确地说, 因为每个分数都是0右边的一个点, 所以它取负之后就是位于0左边与0距离保持不变的点．我们可以考虑分数(根据定义, 它等于), 它的相反数与它关于0互为镜面对称点, 如图所示．
现在开始讨论负数相乘的话题, 核心标准中七年级的一个条目如下：
通过要求负数运算继续保持运算性质, 特别是分配律, 理解乘法从分数扩张为有理数的过程, 得出诸如的乘积以及乘以一个有符号的数的计算法则．通过描述实际生活中的情形, 解释有理数乘法．
这条标准实际上是需要详细补充的．在给出的正确解释的过程中, 我将会这样做．这个解释对于一般情形也会有效, 其中和是任意整数．当和是分数时(这是标准要求的), 我们将需要一个更复杂的解释(因此在任意一本令人满意的教科书中都应给出这些解释), 但是在这里我们将只针对简单的情形．
正确解释的一个关键步骤是的证明(正如在七年级的标准中所言)．用图形表示, 这个等式说的是, 乘以表示把反射为它的镜面对称点1, 位于0的右侧．关于这个话题, 有一个与核心标准一致的范围更广的观点是说, 更一般地, 任何一个数乘以都把这个数反射为它的镜面对称点, 位于0的另一侧．现在, 如何看出是不是1呢？对于六年级或七年级的学生, 做这件事情最可取的方法就是, 从出发, 通过直接计算, 得到结果是1．但是, 因为没有一个已知的方法能这样做, 我们只好先预测正确答案(当然, 是1), 然后采取一种间接的方法来问：是否等于0？如果是这样, 那么我们将看到, , 任务就完成了．与较长的表达式之间的关键的区别在于, 在后一个式子上我们可以做具体的计算！在下面第二个等号处, 我们借助于分配律：
注意到, 只有当我们得到时, 我们才能开始进行通常意义下的“计算”：等于0, 而也等于0．不管怎样, 我们最终——用熟悉的算术——说明了．
现在, 我们能够证明．先来证明．我们有, 再次根据分配律, 它等于, 因此．由于早先仔细考虑过为什么等于3, 所以我们现在能够很容易地完成关于的推理, 即：(再次)根据分配律, ．由我们刚才证明的结果, 后面的式子等于．所以最后．
如果回顾上面的推理, 便可以清晰地看到, 最关键的步骤是应用分配律；没有它, 就不可能得出, 以及, 也不可能得出．这正是前面的核心标准中主要强调的内容．对于任意自然数,, 的证明是完全类似的．因此, 与受到旧式数学的指导不一样, 教师受到核心标准的指导后, 将会对负负得正提供一种正确且完整的数学解释．不需要借助不起作用的表格, 也没有任何理由提供一种只满足一半求知欲的解释．
不需要任何真的数学知识, 就可以从这两个例子中看出, 从旧式数学体系到核心标准的数学体系是一个巨大的飞跃．如果有更多的空间, 我可以举出更多的例子．多数情况下, 旧式数学与核心标准的差距是非常显著的．我们不能期望美国的教师都自觉地履行核心标准．到目前为止, 教科书的编者们并没有奋起应战核心标准．因此, 我们唯一的希望落在提供师资培训上, 以帮助我们的教师获取必要的数学知识来认识到旧式数学的缺陷．
“开始销售顾客所需”
在职教师们认为, 师资培训与学习数学知识的意思完全不同．长久以来, “师资培训”里充斥着游戏, 有趣的教具, 最新的教学策略, 以及能使数学简单化的课堂方案．另一种比较认真的师资培训, 会讨论诸如孩子的数学思维, 技术的合理应用, 师生互动, 以及良好的教学实践等话题．这种师资培训只有一小部分教师足够幸运地可以参加．尽管这些对于教学是很重要的话题, 但是它们不可能将旧式数学体系改变成核心标准的体系．现在, 迫在眉睫的是, 如何用师资培训来帮助教师们, 把旧式数学转变成正确的、连贯的、精确的、合理的中小学数学．
对于上述最后一句话, 一个自然的反应是产生怀疑：难道学院和大学不会给未来的教师讲授他们将来教学所需要的数学吗？有的可能会, 但是绝大多数都不会．(如果学院和大学会这样讲授, 那么教师们就会不断指出他们的学生用书里的错误, 美国在中小学数学评估方面的国际地位将会更高．)
在为未来高中数学教师准备的课程中, 学院和大学常常讲授大学等级的数学．其思想是“智力流下理论”应当成立：学会高等数学, 你将自然对中小学数学非常了解．但是这是不对的, 理论上不对, 实践起来也不对．学院和大学应当设法消除旧式数学带来的损害, 对未来高中老师将要教的代数, 几何, 三角等知识进行整顿．
由于小学教师们不得不掌握多方面的课程, 对未来小学教师准备的课程中, 学院和大学通常将讲授重点放在教育学的“数学方法”．这些几乎是为旧式数学锦上添花(未来的教师当然需要学习有效的教育理论，但是他们也必须学习自己所要教的知识．本文是关于把相关的正确的数学知识融入教师的培训课程；不是要把教育研究从教师的培训课 程中拿走)．理由是这些课程通常是由数学教育的教授来讲的, 而不是数学家(数学家们回避讲这样的课程, 因为他们觉得小学数学很微不足道)；所以很有可能在大多数这些数学方法的课程中, 没有一个人(甚至连教授也没有)意识到旧式数学的缺陷．
如果考虑一个类似的情形, 可能会让我们更好地认识到我们为数学教师所准备的课程有多么荒谬：要造就一个好的高中法语老师, 我们是否应该要求他们在学院里学习拉丁语而不是法语？毕竟, 拉丁语是法语的起源语言, 而且在语言上比法语更复杂．当然, 掌握一门更复杂的语言会增进教师对他们已经在中小学里学习过的法语的理解．给未来的法语教师讲授拉丁语, 与给未来的几何教师讲授大学数学有什么区别呢？我不认为有区别．同样的道理, 如果我们要造就一名好的小学法语教师, 难道不应该保证他们可以流利地书写法语吗？我们将——而且我们也应该对高等教育学院培训小学数学教师抱有同样的期望．
高等教育学院没有认真地对待他们应当为数学教师准备合理课程的责任, 这是为什么旧式数学扎根于中小学数学的一个主要原因(这不是唯一的原因，教育家与数学家的长期分离是另一个原因)．这种没有认真对待表现在两个方面：数学知识和教育学．我主要关心的是知识, 因为我相信, 对于成为一个好的数学教师来说, 掌握数学是最难的部分, 但是我也感谢其他人在关注教育学．例如, 最近一期的“美国教育”里, DeBorah Loewenberg Ball和Francesca M. Forzani在一篇文章中强调, 在所有的学科中, 对教师的教育学培训都不够. 我鼓励对数学教育学感兴趣的读者读读他们的文章.然而, 因为Ball和Forzani讨论的是一般的教师培训, 而不只是数学, 所以我想引起读者对下面一段话的注意, 这段话在谈论数学教师时可能会引起误解．
“具有高影响力的知识”, 包括在中小学各学科领域中的一些文章, 课题, 思想和技巧, 这些知识很有必要为每一个初为人师者所熟悉．具有高影响力的知识是这个国家中小学课程中思想和技巧的基础, 这些知识在大多数现行的教科书和课程中以某种形式讲授, 而且频繁地出现．此外, 具有高影响力的知识对学生的学习很重要, 并且如果讲授不当的话, 常常成为难点．未来的教师通常只了解皮毛, 或者完全不了解．
对于我来说, 把这一点正确应用到数学教育上的关键在于, 注意他们的这句话, “具有高影响力的知识……在大多数现行的教科书和课程中以某种形式讲授．”因为曾经与Ball一起工作过, 所以我相信, 她非常了解数学学生用书中的缺陷．旧式数学确实以某种形式来谈及所有重要的数学, 但是几乎都没有采用正确的形式．所以尽管我同意在多数当前广泛使用的数学教科书中可以找到具有高影响力的课题, 但我不能同意在这些书中可以找到具有高影响力的知识．
当然, 那段话把我带回到我主要关心的问题上来．由于教师培训项目没有讲授与中小学课堂相关的知识, 绝大多数职前的教师在大学里没有得到对中小学数学的正确理解．因为教师自身在学生时代学习的有缺陷的旧式数学没有受到揭露, 所以当他们成为教师后会无意识地把旧式数学强加给自己的学生．于是就有了旧式数学在中小学代代循环这样的现象．现在, 这一恶性循环根深蒂固, 使许多当今的和未来的数学教育者也深受其害, 并且削弱了这些人对于中小学数学的认识．他们受到的教育是把旧式数学与“数学”等同起来, 所以, 通过间接地或直接地引用旧式数学, 他们关于中小学数学课程的教育评论就在无意识地肯定旧式数学．因此旧式数学继续存在着．
作为一个研究这次灾难性教育失败的数学家, 我不得不承认, 总体上讲, 数学界必须承担大部分责任．我们认为中小学数学太微不足道了, 而且我们认为教育政策是一个无底的深渊, 不值得我们去花精力．所以我们投机取巧, 忽略中小学里的所有数学现状, 只是简单地宣称, 如果我们给高中教师讲授好的数学, 剩下的事情就取决于他们了．换句话说, 我们躲在智力流下理论背后, 即使我们每天都要面对证明这个理论不能成立的证据．
当然, 一些数学家已经尝试对中小学数学做出一点贡献．但是他们中的大多数人没有投入足够多的时间来调查问题．一般来说, 由于他们意识不到旧式数学的糟糕状况, 结果变成写书鼓励教师们仍以旧式数学知识为基础来解决问题或学习新的数学(不幸的是，对于涉及数学家的几乎所有教育著作来说，这句话看起来都是成立的)．这就类似于帮助一个挨饿的人时, 给他买新衣服让他看起来更好看一些, 而不是试着去解决他的营养不良问题．现在核心标准给我们提供了唾手可得的机会, 是时候让我们数学家做出一些补偿了．
在2008年3月, 我路过伦敦希思罗机场时, 碰巧看到一则IBM的广告:
Stop selling what you have, Start selling what they need.(别再兜售你所拥有, 开始销售顾客所需)
如果让“顾客”代表我们的数学教师和数学师资培训, 那么这则广告将直接地指导数学家需要为中小学数学教育做些什么:Get to know what they need, and teach it.(开始了解他们需要什么知识, 然后讲授这些知识．)
核心标准的到来预示着一个信号, 也是教育界内的第一次, 那就是旧式数学在中小学课程中将不再有立足之地．旧式数学与核心标准是不能共存的, 为未来的数学教师提供代替旧式数学的数学知识, 是现在的学院和大学义不容辞的责任．要是那些机构能意识到他们的责任, 事情就好办得多！所有的数学教师现在必须学会教数学, 不是用类比和比喻, 或是用难以理解的伪解释的数学, 而是精密, 推理, 和有连贯性的教学．
数学工程
高等教育机构给未来的教师讲授严格的高等数学是不够的, 因为中小学数学中的课题不是高等数学的一部分．它也不能把重点是教育学的课程来冒充为数学课, 因为中小学数学的危机不能通过教学技术来解决．那就意味着, 当前的迫切需要是, 为所有未来的数学教师提供能同时满足以下两个要求的数学知识：
A．(这种知识)与教学相关——即, 不背离他们在学校里所教的素材．
B．(这种知识)与数学的下面五条基本原则一致：
精确的定义是逻辑推理的基础； 精确的语言阐明已知和未知； 每一个断言都能用逻辑推理来证实； 所有的概念和技巧组织紧密, 编织得像一张挂毯, 无懈可击； 每个概念和技巧都有它出现的目的．(我在附录一中对每一条都简短地做了解释．)
目前, 旧式数学满足要求A, 至少它试图“包罗”中小学里所有必需的数学知识(然而, 它也充斥着一些不必要的课题——但那将是另一篇文章了)．但是旧式数学一点儿也没有满足要求B．大学水平的数学满足要求B, 但不满足A．(不相信这一点的那些读者可以阅读附录二．)因此, 目前我们所看到的是数学教学的两个极端, 每个都满足两个要求之一, 但不满足另一个要求．
这两个极端的中立区——必须既能让孩子们接受, 又在数学上是正确的——是对大学水平数学的一个修订版．上述例1和例2对这样的修订版进行了说明．
这带给我们一个更清楚的概念, 即中小学数学教育是什么：数学工程, 意思是说, 它是针对中小学生的需求, 对抽象的大学水平的数学的一次改造．我们可以在具体语境中来说明这一观点．工程是一门把抽象科学理论改造成正确地实现人类的需求的程序和产品的学科．所以, 化学工程从化学出发, 得到水族馆里的有机玻璃水缸, 加入到汽车里的汽油, 洗发香波, 消毒剂, 等等．电气工程把抽象的电磁学理论转变成计算机, iPods, 房间里的灯, (固液)混合发动机, 等等．同样的道理, 数学工程把抽象的大学水平的数学, 转化成在中小学课堂上可以正确教学(区别于旧式数学)的中小学数学．
我希望, 核心标准能够开创数学工程, 结束旧式数学, 用合理的中小学数学取代旧式数学．但是如果我们的数学工程仅限于标准和大规模的评估(不幸的是, 这似乎正是我们目前的方向), 那么什么都不会实现．合理的中小学数学教师用书和学生用书, 模范教案, 诊断评估和师资培训都是绝对需要的．人们通常认为这些东西是指导性的“支柱”, 意味着, 只有水平差的老师才需要．这是荒唐的．难道只有水平差的化学家才需要合适的实验室仪器吗？只有水平差的篮球运动员才需要与教练合作吗？
为了把数学工程的所有必需的工作做好, 数学家, 数学教育家以及数学教师必须共同努力．这些部门长期以来独立工作, 为学生带来了不完善的旧式数学, 为未来的小学教师带来重教育轻数学的课程, 为未来的高中数学教师带来不相关的大学水平的数学课程．如果这些部门合作起来, 他们将最终拥有数学、学生、教育、课堂实践等必备的知识, 用合适的中小学数学替代旧式数学, 为未来的(和在职的)教师们创设严格的相关的数学课程．(已经密切关注核心标准进展的联邦机构应该注意到这一需要, 并为这样的合作提供财政动力．)
这项工作的进展有两大主要的障碍：缺乏有志愿的数学家, 缺乏认识到旧式数学不足的教师和数学教育教授．作为一个研究中小学数学十多年的数学家, 我相信, 后者的缺乏比前者的缺乏更容易解决．在成百上千我接触过的教师中, 大多数人非常积极地要求改进, 并且他们愉快地发现自己在数学上的困难是由他们所学的旧式数学导致的．此外, 一旦我们在数学工程上有所进展, 教师的培训课程就能彻底改革, 使得旧式数学永存的恶性循环将被打破．但是首先, 我们必须解决缺乏有志愿的数学家的问题．我有一个革命性的提议：专业的数学组织, 特别是美国数学学会, 应当为一大批有才华的数学家举办培训, 让他们了解中小学数学课程并把自身投入到数学工程中．像化学工程和电气工程一样, 数学工程应当成为一门公认的跨学科的学科．
假设数学工程的工作可以启动, 我们仍将面对一些新的阻碍．首先, 地区的领导必须理解, 给在职教师讲授这个新的合理的中小学数学需要长期的投入．学习正确的数学, 忘记旧式数学, 需要下功夫和花时间．每个学期两个或三个半天的课程是不够的．在数学中, 教师的师资培训中最难的部分是获得扎实的数学知识．训练自己讲合理的中小学数学不是学习小制作；而是学习一门认知复杂并且递进分明的学科．每个课题, 不论多么基础, 对于后来的课题都是很重要的．比方说, 理解位值制对于理解多位数加法非常重要, 理解分数乘法对于理解代数非常重要, 等等．其次, 尽管我迫切希望, 全国所有的小学教师大面积地接受他们本应该在学院里就接受的中小学数学教育, 但是有两件事情与之相悖：第一, (美国)有一百五十多万小学教师；第二, 他们被要求讲授所有的学科．期望任何一个人同时擅长讲授阅读, 数学以及所有其他学科．这是国家政策一厢情愿的想法．一个更理性的方法是, 在小学中安排（专业的）数学教师．
第三个潜在的障碍是与核心标准伴随而来的考试．政府部门应当保持警惕, 确保他们的学生免受太多的考试．他们必须记住, 尽管一些标准化考试是必需的也是健康的, 但是一年内进行许多考试则会对学习适得其反．另一个需要关注的是考试题目的数学质量．目前, 学生需要一个有效的数学考试, 而这种需要不能得到满足, 是因为标准化考试中出现了一些有缺陷的并且在数学中边缘化的题目(包括那些来自NAEP(即美国教育进展评价，是美国唯一的全国性的，代表性和持续性的评价学生学业成就的项目，定期对全国进行阅读，数学，写作，科学，历史，地理，公民学，外语，艺术等学科进行测试)的题目)．为了在将来减少这样的错误, 我们需要考试协会承诺他们会不断输入有才华的数学家来参与工作．
人们都知道, 只要为之奋斗的目标是有价值的, 就算是有再大的困难我们的国家也能克服．因为数学教育中的失败会造成影响深远的结果, 所以成功实施核心标准的价值很明显．此外, 核心标准可能是我们打破长期以来旧式数学恶性循环的最后希望．我们能否都贡献出自己的力量, 保证核心标准留在课程中？我们的孩子们在等待一个肯定的答案．
本文转自：《数学通报》。感谢译者授权转载。