杨振宁先生的文章：许宝騄和“移棋相间法”

（一）西南联大时的数学游戏 

1940年前后，在西南联大物理系和数学系的师生们许多都喜欢玩一个移动2n个围棋子的游戏。我也对它花过不少时间，始终未能完全解决。20多年后在美国我重新研究它，终于解决了所有n=3,4,5……的游戏，可是没有把答案写下来，只记得解决的一个关键方法是modulo 4。

最近看到一本关于许宝騄¹的书，《道德文章垂范人间》，其中316页上有一篇俞润民的文章²，说许曾研究“移棋相间法”，曾发现“合四为一之新律”。我猜，此新律恐怕就是后来我发现的modulo 4方法。

这几天重新研究此游戏，再度得到全解，在下面描述。

( 二）p(3)

六个棋子摆成一行，如 (1) ，黑子 (b) 在左，白子 (v) 在右。

然后移动最左二子至最右，成 (2) ，再移动二子成 (3) ，再移动二子成  (4) 。

从 (1) 到 (4) ，三步移动，达到黑白相间是游戏 p(3) 的三步解。请注意，每次移动，必须是相邻二子，平行移动。

（三）p(4)

（四）p(5)

（五
）p(6)

（六）p(7)

（七）p(8)

从 (31) 到 (39) 八步平行移动可以分成三段 ：

第一段  (31) 到 (33) 两步。请注意中间八子 bbbbvvvv 完全不动。 

第二段  (33) 到 (37) 四步。请注意左右两端的 bvvb 和 vvbb 八子完全不动。 

第三段  (37) 到 (39) 两步。其中第一步先不动 (37) 的最左四子bvvb, 只把最右四子的中间二子 vb 移到左面，成 (38) 。第二步则把 (38)  中最左的 bv 二子移到右面成 (39) 。

极重要的比较 ：

比较第二段 (33) 到 (37) 这四步，与 p(4) 的 (5) 到 (9) 这四步，前者去掉最左四子与最右四子就与后者完全雷同！！！也是说 p(4) 是p(8) 的中心。p(8) 在中心以外还有第一段的两步和第三段的两步，以及左右八子，合起来形成一框，我们称它为外框。

（八）Modulo 4 

p(8) 的中心是 p(4) 。四周是一个外框。我们把此关系写为

p(4)  →  p(8)

这个关系显然可以推广 ：

至此我们已显示所有 n>3 时 p(n) 的解法。

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1数理统计学起源于二十世纪前半叶。创建此学科的五、六位学者中有许宝騄。

2俞润民是许宝騄的外甥，是俞平伯的儿子。俞文还说此游戏“始于清顺治六七年”。

2019年11月完稿于清华园

作者简介

杨振宁

世界著名物理学家，1957年获得诺贝尔物理奖，

在物理、数学等科学领域拥有极深的造诣。

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