随机数学成长的若干片段
随机数学成长的若干片段
陈木法
应用概率统计 第37卷 2021
§1. 两段简史
早期
随机数学正式成为数学的一个分支应当从1933年算起．当年，俄罗斯数学家A．N．Kolmogorov建立了概率论的笫1个公理系统[16]．然而，正如美国数学家W．Feller在他的两卷本『12，13]的序中所述：在他写书期间(1941—1948年)，除前苏联而外，仅有少数数学家承认概率论为数学的一个合法分支(1egitimate branch of mathematics)．随机数学在我国的发展，是因为我国老一辈数学家的远见卓识，他们在制定我国1956-1967年科学技术发展远景规划纲要时，将“计算数学、概率论与数理统计、微分方程论”列为“数学中需大力发展的重要、急需而且空白或薄弱的部门”[14]．从书[1]中可以看到：被华罗庚先生誉为中国概率统计的总司令许宝騄先生在1950年代为我国随机数学所做的大量奠基性贡献．该书中第366、367页(胡迪鹤教授的回忆)特别介绍了当年在许先生领导下，为落实12年远景规划所采取的三项措施：
(1)集中力量，培养人才；
(2)延聘(笔者注：当时已有几位在 华)外籍专家来华讲学；
(3)引进教材，更新教学内容．
无疑地，那是我国随机数学起步的极重要开端，造就了第一批骨干人才．
大发展时期
直到1960年代初，概率论最主要有三个分支：极限理论、平稳过程与马氏过程（参见书[17；序])．随机数学的大发展始于1960年代中叶．数学开始重新回归自然，即从公理化运动的Hilbert时代回归Poincaré时代．最早的是概率论与(平衡态)统计力学交叉的前苏联的R．L．Dobrushin学派以及随后(1970年代)美国的F．Spizter学派．还有渗流理论、随机环境中的随机过程等新分支学科．到了1970年代中叶，又出现了随机分析、随机微分几何和大偏差理论等新分支(容易想象，这里略去了很多故事和参考文献．只能提及，在过去的岁月里，大约每10年，笔者就发表一篇关于该学科进步的综述：[3，4，7，8]，从中可找到更多信息)．正是在这一大背景下，为适应新形势，英国1975年创办了《Stochastics》杂志．就笔者所知，这或是“stochastics”一词最早出现在文献上的时间．事实上，在[2，15]两书上均无此词．前些天，使用Google查询“stochastics”一词的网页约有230万条．这让笔者相当震惊．
作为对比，也查询了我国一所985百年老校(该校的英文全名)，网页数约为176万条．由此可见“stochastics”一词在国际上己相当流行．进入网页，可见到包括“Institute of Stochastics”和“Mathematical Stochastics”等词条．顺便提及：我们建议后者为“随机数学”的英译名(而不是直接译名“Stochastic Mathematics”)．这是因它既与传统的“数理统计”的英 名“Mathematical Statistics”相配；而且作为名词，“stochastics”又可单独使用，反映“随机性”的本质属性．
§2． “大学数学”面向新世纪教学大纲和“随机数学’’教材
（略）
§3． 随机数学成熟的标志
从2006年开始(之前无)，在己举办的4届数学家大会上，每一届的Fields奖都至少有一人获奖．累计6．5人．例如ICM 2006，4个获奖人及所涉及领域分别为：
Andrei Okounkov：概率论，表示论，代数几何．
Wendelin Werner：二维布朗运动的几何与共形映照．
Grigori Perelman：Ricci流的分析与几何结构． 使用了对数Sobolev不等式．
Terence Tao：PDE，组合，调和分析及堆垒数论，随机矩阵．
国际数学联盟(IMU)主席John Ball指出：“Probability swept most of the award”，“2．5 of them．to be exact”．
·国际数学联盟将首届应用数学Gauss奖颁发给K．It6(2006)，参见[8]．
·Abel奖先后三次颁发给本领域学者S．R．S．Varadhan(2007)(也见[8])．Ya．G．Sinai (2014)：颁奖词表彰他“在动力系统，遍历理论和数学物理的基本贡献”．H. Furstenberg和G．Margulis(2020)：颁奖词表彰他们“率先提出在群论、数论和组合数学中使用概率论和动力系统的方法”．该奖总共已颁发过18次．
顺便提及，在笔者主页的 科普作品中，可找到我们的研究群体与Dobrushin、Sinai团队的许多交往．
另一标志
众所周知，随机数学是在其他数学分支(特别是分析)的哺育下成长壮大的．近几十年来出现了该学科成熟的一个新标志．随机数学不仅不断地开拓出新领域，而且直接解决了其他领域中的核心问题．这里随机抽取两个例子
·完全非线性方程的N．V．Krylov和M．V．Safonov(1979)估计
·素数存在长算术级数(H．Furstenberg，1970年代)．
后者是获2020年Abel奖的成果之一．从[8]中可找到更多例子．也许，从笔者的许多研究中(见[5，6，9，10])，也能够找到一些随机数学与统计物理、分析与几何、量子力学等交叉的例证(这里所列的文章和相关视频大多可在笔者的主页(见文末)中找到)．随机数学及相关交叉已经成为一种时尚、是一股大潮流．随机的思想己深深进入数学和其它许多自然科学领域，成为人工智能(特别是强化学习Reinforcement Learning)、计算数学等大多科学领域的重要工具．其实，产生这一现象不足为怪．因为哲学的三大要素：对立统一，量变质变，偶然与必然，其一就隐含随机数学．由此可见，忽视随机数学必定会吃大亏!作为现代随机数学的发展状况的简明概括，这里引用姜伯驹先生为纪念文集所写的序的前几句：
“今年是许宝腺先生诞辰100周年．他是我国数理统计学科和概率论学科的奠基人．现在，世界已经进入信息时代，数理统计学发展成了数学科学中与科学、技术、经济、社会的联系极其紧密的一大方面．概率论的思想也有力地渗入基础数学的各个分支，发挥了别开生面的神奇作用．”
应当指出，本文难免片面性．随机数学的半边天一数理统计几乎没有涉及；即使限于概率论，也只提及笔者稍熟悉的一小点；文中更缺少对未来的分析和展望(稍许例外的是文[9])．笔者期盼各位专家的作品，使我们对于随机数学有更全面的认识，为未来的发展增添新动力.
讲到这里，可能会让人产生过于偏激的印象．其实不然，笔者主张数学家要学点生态学，其核心是“物种共存”．如果世界上什么物种最厉害，比如说老虎，那么大家都来养老虎，这个世界会成何体统?记得澳洲曾经因为袋鼠繁殖太多，他们通过法律，杀掉一批：又如美 国，据说某种亚洲鱼繁殖太凶，他们搞了电击捕鱼．这些措施当然是为保持生态物种之间的平衡．在数学乃至物理的大家庭里，本是一个统一体，各分支学科互相依存，没有贵贱之分．其实，早在1900年Hilbert的世纪报告中就非常强调数学的整体性，他的23个问题中， 基本上是数学，但也包含物理．1960年代，华罗庚先生在科大开课时，倡导了一条龙教学方法，明确反对将数学的各部分割裂．这些事实都说明数学、乃至部分物理的高度统一．我们的基本信念在于：各个学科之间必须互敬互助，才有可能实现和谐健康发展．