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随机数学成长的若干片段(重排)

陈木法 和乐数学 2023-01-28

随机数学成长的若干片段

陈木法

应用概率统计 第37卷 2021

§1. 两段简史

早期

随机数学正式成为数学的一个分支应当从1933年算起.当年,俄罗斯数学家A.N.Kolmogorov建立了概率论的笫1个公理系统[16].然而,正如美国数学家W.Feller在他的两卷本[12,13]的序中所述:在他写书期间(1941—1948年),除前苏联而外,仅有少数数学家承认概率论为数学的一个合法分支(1egitimate branch of mathematics).随机数学在我国的发展,是因为我国老一辈数学家的远见卓识,他们在制定我国1956-1967年科学技术发展远景规划纲要时,将“计算数学、概率论与数理统计、微分方程论”列为“数学中需大力发展的重要、急需而且空白或薄弱的部门”[14].从书[1]中可以看到:被华罗庚先生誉为中国概率统计的总司令许宝騄先生在1950年代为我国随机数学所做的大量奠基性贡献.该书中第366、367页(胡迪鹤教授的回忆)特别介绍了当年在许先生领导下,为落实12年远景规划所采取的三项措施:

(1) 集中力量,培养人才;

(2) 延聘(笔者注:当时已有几位在 华)外籍专家来华讲学;

(3) 引进教材,更新教学内容.

无疑地,那是我国随机数学起步的极重要开端,造就了第一批骨干人才.

大发展时期

直到1960年代初,概率论最主要有三个分支:极限理论、平稳过程与马氏过程(参见书[17;序]).随机数学的大发展始于1960年代中叶.数学开始重新回归自然,即从公理化运动的Hilbert时代回归Poincaré时代.最早的是概率论与(平衡态)统计力学交叉的前苏联的R.L.Dobrushin学派以及随后(1970年代)美国的F.Spizter学派.还有渗流理论、随机环境中的随机过程等新分支学科.到了1970年代中叶,又出现了随机分析、随机微分几何和大偏差理论等新分支(容易想象,这里略去了很多故事和参考文献.只能提及,在过去的岁月里,大约每10年,笔者就发表一篇关于该学科进步的综述:[3,4,7,8],从中可找到更多信息).正是在这一大背景下,为适应新形势,英国1975年创办了《Stochastics》杂志.就笔者所知,这或是“stochastics”一词最早出现在文献上的时间.事实上,在[2,15]两书上均无此词.前些天,使用Google查询“stochastics”一词的网页约有230万条.这让笔者相当震惊.

Google找到约2,300,000条结果(用时0.71秒)

作为对比,也查询了我国一所985百年老校(该校的英文全名),网页数约为176万条.由此可见“stochastics”一词在国际上己相当流行.进入网页,可见到包括“Institute of Stochastics”和“Mathematical Stochastics”等词条.顺便提及:我们建议后者为“随机数学”的英译名(而不是直接译名“Stochastic Mathematics”).这是因它既与传统的“数理统计”的英 名“Mathematical Statistics”相配;而且作为名词,“stochastics”又可单独使用,反映“随机性”的本质属性.

§2. “大学数学”面向新世纪教学大纲和“随机数学”教材

(略)

§3. 随机数学成熟的标志

从2006年开始(之前无),在己举办的4届数学家大会上,每一届的Fields奖都至少有一人获奖.累计6.5人.例如ICM 2006,4个获奖人及所涉及领域分别为:

  • Andrei Okounkov:概率论,表示论,代数几何.

  • Wendelin Werner:二维布朗运动的几何与共形映照.

  • Grigori Perelman:Ricci流的分析与几何结构.使用了对数Sobolev不等式.

  • Terence Tao:PDE,组合,调和分析及堆垒数论,随机矩阵.

  • 国际数学联盟(IMU)主席John Ball指出:“Probability swept most of the award”,“2.5 of them.to be exact”.

  • 国际数学联盟将首届应用数学Gauss奖颁发给K.Itô(2006),参见[8].

  • Abel奖先后三次颁发给本领域学者S.R.S.Varadhan(2007) (也见[8]).Ya.G.Sinai (2014):颁奖词表彰他“在动力系统,遍历理论和数学物理的基本贡献”.H. Furstenberg和G.Margulis (2020):颁奖词表彰他们“率先提出在群论、数论和组合数学中使用概率论和动力系统的方法”.该奖总共已颁发过18次.

顺便提及,在笔者主页的科普作品中,可找到我们的研究群体与Dobrushin、Sinai团队的许多交往.

另一标志

众所周知,随机数学是在其他数学分支(特别是分析)的哺育下成长壮大的.近几十年来出现了该学科成熟的一个新标志.随机数学不仅不断地开拓出新领域,而且直接解决了其他领域中的核心问题.这里随机抽取两个例子

  • 完全非线性方程的N.V.Krylov和M.V.Safonov(1979)估计

  • 素数存在长算术级数(H.Furstenberg,1970年代).

后者是获2020年Abel奖的成果之一.从[8]中可找到更多例子.也许,从笔者的许多研究中(见[5,6,9,10]),也能够找到一些随机数学与统计物理、分析与几何、量子力学等交叉的例证(这里所列的文章和相关视频大多可在笔者的主页(见文末)中找到).随机数学及相关交叉已经成为一种时尚、是一股大潮流.随机的思想己深深进入数学和其它许多自然科学领域,成为人工智能(特别是强化学习Reinforcement Learning)、计算数学等大多科学领域的重要工具.其实,产生这一现象不足为怪.因为哲学的三大要素:对立统一,量变质变,偶然与必然,其一就隐含随机数学.由此可见,忽视随机数学必定会吃大亏!作为现代随机数学的发展状况的简明概括,这里引用姜伯驹先生为纪念文集[1]所写的序的前几句:

“今年是许宝騄先生诞辰100周年.他是我国数理统计学科和概率论学科的奠基人.现在,世界已经进入信息时代,数理统计学发展成了数学科学中与科学、技术、经济、社会的联系极其紧密的一大方面.概率论的思想也有力地渗入基础数学的各个分支,发挥了别开生面的神奇作用.”

应当指出,本文难免片面性.随机数学的半边天一数理统计几乎没有涉及;即使限于概率论,也只提及笔者稍熟悉的一小点;文中更缺少对未来的分析和展望(稍许例外的是文[9]).笔者期盼各位专家的作品,使我们对于随机数学有更全面的认识,为未来的发展增添新动力.

讲到这里,可能会让人产生过于偏激的印象.其实不然,笔者主张数学家要学点生态学,其核心是“物种共存”.如果世界上什么物种最厉害,比如说老虎,那么大家都来养老虎,这个世界会成何体统?记得澳洲曾经因为袋鼠繁殖太多,他们通过法律,杀掉一批:又如美国,据说某种亚洲鱼繁殖太凶,他们搞了电击捕鱼.这些措施当然是为保持生态物种之间的平衡.在数学乃至物理的大家庭里,本是一个统一体,各分支学科互相依存,没有贵贱之分.其实,早在1900年Hilbert的世纪报告中就非常强调数学的整体性,他的23个问题中,基本上是数学,但也包含物理.1960年代,华罗庚先生在科大开课时,倡导了一条龙教学方法,明确反对将数学的各部分割裂.这些事实都说明数学、乃至部分物理的高度统一.我们的基本信念在于:各个学科之间必须互敬互助,才有可能实现和谐健康发展.

参考文献

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