第一张对数表是怎样制作出来的

作者简介：陈纪修，复旦大学数学科学学院教授）

在400多年前，人类还没有发明计算机，还只能做加、减、乘、除等简单运算。但是随着科学技术的发展，特别是随着天文学和力学的迅速发展，科学家要面对许多复杂的计算，这就促使他们去寻找简化复杂计算的方法。对数运算与对数表就是在这样的背景下产生的。

人们应该把造出第一张对数表归功于乔伯斯特-别尔基 (Jobst Burgi，1552-1632) 和约翰-纳皮尔（John Napier，1550-1617）。他们在制作对数表的过程中所花费的巨大的劳动使人惊讶。法国数学家和天文学家拉普拉斯（Laplace，1749-1827）说：一个人的寿命如果不拿他在世上的时间长短来计算，而是拿他一生中的工作多少来衡量，那么可以说，对数的发明等于延长了人类的寿命。

恩格斯曾经将解析几何、对数及微积分并列为十七世纪三个“最重要的数学方法”，而对数的计算又离不开对数表，由此可知对数表的制作成功对科学发展的重要意义。

乔伯斯特-别尔基出生于瑞士，是一个能干的钟表匠和天文仪器技师，他没有受过高等教育，他取得的成就完全是靠他突出的才能与勤奋的工作。他和发现行星运行三大定律的德国著名科学家开普勒（Kepler，1571-1630）一起工作，因为需要进行大量的计算，这就促使他去寻找快速计算的方法。

约翰-纳皮尔是苏格兰人，他也不是职业数学家，但是他受过良好的教育，是一个天文学和数学的爱好者。他完全独立地和别尔基同时开展着类似的研究。他用了20年的时间来制作第一张对数表，在这过程中，他始终怀着一个崇高的目标：减轻未来计算人员的劳动。

下面我们来看看他们是怎样制作对数表的。

由于对数运算有换底公式

所以只要选择一个适当的底，关于这个底制作出对数表，则关于其他底的对数表就很容易制作出来了。那么以什么数作为底最合适呢？

首先，对数表需要满足一个基本条件：表中对数的间隔要充分小，而真数的间隔也要充分小（例如为0.0001）。这样当我们从真数求对数时，很容易在表中找到这个真数的精确值或近似值，从而很快在同一行读出它的对数值；而当我们从对数求真数时，也很容易在表中找到这个对数的精确值或近似值，从而很快在同一行读出它的真数值。

1

因为我们使用的是10进制，所以先试一下以10作为底是否合适。

对数底a=10
lgN=log10N	N
0.0000	1
0.0001	10000√10
0.0002	10000√100
0.0003	10000√1000
0.0004	10000√10000
...	...

注：上表中¹⁰⁰⁰⁰√10表示10的10000次方根。

这个表的左边对数部分的间隔很小，是0.0001，但右边真数部分的计算非常困难，需要对10，100，1000，10000等数求10000次根，这简直是无法计算的。

2

为了避免求上述的开10000次根的运算，我们应该取某个数的10000次幂为底，那么我们先取10¹⁰⁰⁰⁰作为底来试一下。

对数底a=1010000
logaN	N
0.0000	1
0.0001	10
0.0002	100
0.0003	1000
0.0004	10000
...	...

现在这个表右边真数部分的计算不困难了，但这个表不符合我们的要求，虽然对数的间隔比较小（0.0001），但是真数的间隔太大，而且增加太快。

3

我们把底缩小一点试一下，取2¹⁰⁰⁰⁰作为底。

对数底a=210000
logaN	N
0.0000	1
0.0001	2
0.0002	4
0.0003	8
0.0004	16
...	...

底缩小后，真数这一列间隔也缩小了，但是仍然太大，而且增加也很快。

4

我们把底再缩小一点试一下，取(1+1/2)¹⁰⁰⁰⁰作为底。

对数底a=(1+1/2)10000
logaN	N
0.0000	1
0.0001	1.5000
0.0002	2.2500
0.0003	3.3750
0.0004	5.0625
...	...

从以上几张表我们可以发现，我们取的底应该是一个指数形式，指数是一个比较大的数，如10000，而底越接近1，真数这一列的间隔就越小。

5

于是自然地想到以1.0001¹⁰⁰⁰⁰作为底试一下。

对数底a=1.000110000
logaN	N
0.0000	1.000000
0.0001	1.000100
0.0002	1.000200
0.0003	1.000300
0.0004	1.000400
...	...
0.0009	1.000900
0.0010	1.001000
0.0011	1.001001
...	...
0.0050	1.005012
...	...
0.0060	1.006018
...	...

我们发现这张表已经满足我们前面提出的要求了：真数和对数都按照单调增加的序列排列，而且间隔都非常小。

从以上讨论可以得出这样的结论：为了造第一张对数表时便于计算，必须取形如(1+1/n)ⁿ的数为底，其中n为一个较大的整数，如n=1000，10000等，n越大，所造的表越精确。
别尔基造的对数表就是用数1.0001¹⁰⁰⁰⁰做底的，这张表在1620年出版，称为“算术级数和几何级数表”。别尔基从1603年到1611年共用了八年的时间来造表，为什么要用这么多时间呢？你们可以想一下，表中对数的间隔是0.0001，从0到1就要计算10000个真数的值。制作整个对数表，别尔基总共做了230,000,000个以上的数依次乘以1.0001的乘法计算。


别尔基造的对数表没有得到广泛的推广，因为在1620年，纳皮尔出版了比别尔基造的表完善得多的对数表，称为“珍奇对数表”。纳皮尔的对数表是以1.0000001^1000000做底的，因此更加精确。为了制作这张表，纳皮尔用了20年的时间。

随着牛顿（Newton，1643-1727）和莱布尼兹（Leibniz，1646-1716）创立了微积分，柯西（Cauchy，1789-1857）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）等人奠定了微积分的基础，建立了严格的极限理论，人们发现当n无限增加时，数列(1+1/n)ⁿ极限存在，这个极限是一个无理数，等于2.71828182845……，数学家把这个数用字母e来表示，是为了纪念伟大的瑞士数学家欧拉（Euler，1707-1783）。但为了纪念纳皮尔，这个数也叫作“纳皮尔数”。

因此，现在用的对数有两种，一种叫自然对数，它以数e为底，另一种叫常用对数，它以10为底。