伊藤清：数学研究刚刚起步的岁月

数学研究刚刚起步的岁月

1938 年，我从东京大学理学部数学专业毕业。从这一年到我获得名古屋大学助教职位的 1943 年，我居住在东京，就职于大藏省内阁统计局。我的数学研究正是起步于这5年。乍一看杂乱无章的现象中蕴藏着统计法则这一事实，自学生时代就十分吸引我，我有一种模糊的感觉，这类问题要靠概率论这一数学分支来解决。干是，我从大三便开始阅读概率论相关的论文和著作，在此过程中，渐渐掌握了统计法则中的数学本质。只是当时的研究对于随机变量这个基本概念只做了直观说明，并没有给出明确的定义，难免给人一种不足的感觉。基于严密的定义创建数学体系在现在看来是理所应当的，但这一理念覆盖整个数学领域还是最近的事。即使是微积分学，也是在 19 世纪末严密定义了实数之后，才称得上是一个现代数学体系。我有幸学习了这一体系下的微积分学课程。但是，当时概率论相关的论文和著作，并不是在这样的现代数学的角度下完成的。按微积分学的发展来类比的话，这些论文和著作还停留在 19世纪。

我在烦恼该如何定义随机变量这一概率论的基础概念时，发现了苏联数学家柯尔莫哥洛夫所著的《概率论基础概念》一书。其实，在大一时我就曾在丸善书店。看到过这本书，但当时我对它毫无兴趣。大学毕业后再次与这本书相遇时，我便知道它能满足我的求知欲，于是一口气把它读完了。书中将随机变量定义为概率空间中的函数，通过引入测度论尝试将概率论体系化。站在这个全新的角度后，一直以来朦胧不清的东西就如拨云见日一般明朗起来，由此我也确信概率论确实是现代数学的一个分支。打好基础后，接下来便是概率论的内容了。当时大部分的研究将重点放在了统计法则的数学分析上，研究独立随机变量序列的行为。拿微积分学来说，这部分内容就好比级数理论。当然概率论的内容更难，也更丰富，但与当时数学中的其他分支比起来还是略显单薄，让人难以全情投入。

我对概率论的内容真正产生兴趣是在拜读了法国数学家保罗·皮埃尔·莱维(Paul Pierre Lévy）在1937年提出的关于独立随机变量之和的理论之后。该理论是向随机过程(概率论中的一个概念，相当于微积分学中的函数)的正式研究迈进的一大步，我从中找到了新概率论真正的本质，决定倾尽全部深人研究。如同大多数开拓者所做的工作那样，莱维的理论中有很多地方也是凭直觉来叙述的，晦涩难懂。我使用美国数学家杜布(Doob)引入的正则化这个概念，试图将莱维的理论以柯尔莫哥洛夫式的严密的叙述风格来改写。经过诸多尝试，我最终实现了这个目标。这就是我最初发表的论文，现在大家已经习惯用我的方法来叙述莱维的理论了。

莱维的理论虽是针对独立增量过程的研究，但以此为起点，我也开始逐渐研究一般化的马尔可夫过程。在这些研究中，柯尔莫哥洛夫的研究与偏微分方程有很深的关联，这一点着实吸引着我。我想将这个研究，按莱维对独立增量过程的理解，整理成自己可以接受的形式。在思考过程中，我找到了随机微分方程这一方式。这是我后面研究的出发点，也是我现在仍在研究的内容。论文在最初发表时并未受到太多关注，但从十几年前开始，不断有研究者为这个理论的发展做出贡献，现在它已成为概率论中非常重要的部分。我一直贯彻着按自己的做法解决自己想研究的问题这样的态度，只因自己的性格就是如此，所以没少走弯路，也时常苦于无法很快拿出成果。在摸索的过程中支撑着我的，便是我的恩师弥永昌吉先生。弥永老师虽致力于数论的研究，但也拥有纵贯数学整体的广阔视野。在研究还未成型的阶段，即使我只将腹案告诉弥永老师，老师也会悉心听取，并给我很好的启发。有时他还会勉励我说:“你有自己想要解决的问题，有自己想创立的体系，这一点非常好。”若是没有这些饱含温情的话语，我恐怕已然受挫。借此机会，我也想向恩师表达最诚挚的谢意。

注释：

大藏省是日本自明治维新后到 2000 年间存在的中央政府财政机关，主管日本财政、金融。税收。2001 年，日本中央省厅重新编制，大藏省改制为财务省和金融厅。--译者注

丸善书店于 1869 年始创于东京，是日本第一家以经营西洋书为主的书店，是西洋教育和文化的代表。--译者注

相关阅读：