芒福德：数学之美——从一个神经科学实验讲起
The following article is from 数理人文 Author David Mumford
作者：大卫·芒福德（David Mumford），美国代数几何学家，长期任教于哈佛大学，曾获菲尔兹奖（1974）、麦克阿瑟奖（1987）、沃尔夫奖（2008）。他后来转往应用数学，研究视觉与模式理论，现为哈佛与布朗大学退休教授。 译者：周树静为台湾数学科普译者。 本文译自 Math & Beauty & Brain Areas, Mumford Blog, 10/11/2015。感谢芒福德教授同意译为中文，中译文刊登于《数理人文》杂志第 7 期（2016 年 1 月）与《数学与人文》丛书第 21 辑《数学百草园》（2017 年）。未经授权，不得转载。
David Mumford
（油画照片来源：蕉岭丘成桐国际会议中心）
针对数学的普遍特性，一般大众对两个问题相当感兴趣，一是数学家很喜欢谈的“美丽结果”，到底是什么意思？二是做数学研究时，是否有一些特定的大脑皮质会十分活跃？
最近，阿蒂亚（Michael Atiyah）和泽基（Semir Zeki）两位教授合作，以令人讶异的实验研究将两个问题合而为一，名为“数学美感经验与其神经关联”（The experience of mathematical beauty and its neural correlates）。他们请 15 位数学家观察 60 个公式，以丑、中性、美为这些公式评分（见下表），同时以功能性核磁共振造影（fMRI）扫描他们的脑部。这项研究的主要结论是美感评价和内侧眼窝额叶皮质（medial orbital frontal cortex；mOFC）有某种程度的关联（虽然 mOFC 活动相对于基线减弱的现象有点奇怪）。
这篇文章的主旨，是要论证主观性与参与者从事数学活动时的兴奋感（包括美的知觉），会因数学家不同而有很大的差异，因此思考数学时很可能牵涉到相当不同的脑区。我的说法并没有什么科学依据，主要是来自我与数学同仁的互动交谈，惊讶地发现大家“做数学”的方式真是南辕北辙。
容我先向读者致歉，大部分我想说的，即使你不是数学家也能理解，但是为了言而有据，我不得不述及许多数学家与数学结果，这些部分可能只有我的数学家朋友比较熟悉。文中我为非数学家提供一些让想法更明白的背景，但这种折中并不容易。
我认为数学家可以分成几个部落，区别在于促使他们进入神秘思考世界的不同强烈动因。我喜欢把这些部落称为“探险家”（Explorer）、“炼金师”（Alchemist）、“角力士”（Wrestler）、“侦探”（Detective）。当然，有许多数学家往返于不同的部落，某些数学结果也很难明显归类于某一个部落的特性。
探险家喜欢追问有什么东西具备怎样的性质？以及如果有的话，总共有几种。探险家觉得他们正在发现遥远数学大陆的风土，倚靠纯粹思考的力量或灵光闪烁，传回异国事物的信息。对他们而言，最美丽的东西莫过于他们发现的全新事物，这种想法更被他们之中名为“寻宝家”（Gem Collector）的子部落奉为圭臬。探险家部落里还有另一个子部落称为“地图测绘师”（Mapper），他们希望能提供描述新大陆的某种地图，而不仅止于景点要览（sehenswürdigkeiten）而已。
炼金师最兴奋的事，是找出两个原来毫不相干的数学领域彼此之间的连接，这就像是把一个烧瓶中的液体倒入另一个烧瓶，然后令人惊奇的事情就发生了，好像爆炸一样！
角力士把焦点放在不同物体的相对大小或强度，他们的蓬勃发展靠的不是数与数的等式，而是不等式——某个量能否用另一个量来估计或限制，渐近地估计成长的大小或速率。这个部落主要是由分析学家和擅于测量函数大小的“积分人”所构成，但是所有领域的人都受到他们的吸引。
最后，侦探则是固执地追寻最困难深刻的问题，到处找寻线索，确定保有持续追查的路线，经常要花上数年或数十年的光景。这个部落有一个称为“露天采矿者”（Strip Miner）的子部落，其中的数学家相信在可见的表层下方有一整个隐藏的矿层，因此必须先剥除表面的地层才能真正解决问题。这个隐藏的矿层通常更抽象，就像语法语言学家所追求的“深层结构”（deep structure）一样。另一个子部落称为“施洗者”（Baptizer），他们为事物择取崭新的名称，借由形式的定义与命名，才让原先隐藏的关键对象得以展露其重要意义。
探险家
下面，我想针对每一部落，举出他们认为优美的结果，以及部落中我所知道或交谈过的数学家。
探险家部落最典型的发现是古希腊的五个柏拉图物体，也就是仅有的凸正多面体（经由旋转，可以将某顶点或面转到另一顶点或面的多面体）。这项发现有人归功于泰特托斯（Theaetetus），柏拉图曾经在他的对话录《蒂迈欧篇》（Timaeus）中描述过，并由欧几里得在《几何原本》中仔细构造出来。有件事很有趣，据我所知，不论是印度或中国的典籍，在17世纪与西方数学传统交汇之前，完全不曾出现 12 面体与 20 面体的记载。
将数学宇宙从三维扩张到高维的想法，启动了一波探险家的淘金潮。19 世纪，瑞士数学家司拉弗里（Ludwig Schläfli）将正多面体的名单延伸到 维，四维有六种，更高维度则都只有三种。到了 20 世纪，探讨所有可能的低维流形（无论是拓扑、分段线性或光滑的分类）一直是大家瞩目的焦点。
我熟识的与我同一代的数学家瑟斯顿（William Thurston），显然是探险家部落的一员。瑟斯顿是绝妙的拓扑学家，更令我好奇的是他天生斜视，因此对三维世界的理解，被迫要更依赖大脑的顶叶区域（parietal area）与手眼协调，而非靠枕叶皮质（occipital cortex）以立体视觉来学习。我从没碰到过任何人具备与他类似的可视化技能，或许考克斯特（Harold S. M. Coxeter）是例外。
不过探险家型的数学家并不全是几何学家，有限单群（finite simple group）的全面表列无疑是 20 世纪最优美与令人惊异的发现之一。阿廷（Michael Artin）虽然不是标准的探险家（他的后半职业生涯奉献给侦探型的研究），但他发现了一片极为丰富的非交换环（non-commutative ring）世界，介于近乎交换与完全无限制的广大领域之间。他踏入的是没有人知道可以发现什么的大陆，这项探险仍在进行中。另外还有最奇特、近乎神学的“高阶无穷”领域，这是集合论者所揭露的世界。
我自己的职业生涯集中在“地图测绘师”这个子部落。我所绘制的地图是簇的模空间（moduli spaces of varieties，这是有限维的空间）与欧氏空间子流形的模空间（无穷维的空间）。不过，我们有证据相信最早的探险家部落成员，甚至最早的数学家，基本上是地图测绘师。我所想的是以楔形文字书写勘查泥板的故事，当时世界上最早的组织性国家，正面临记录田地所有权与从农民课税的政务。很幸运，人类拥有许多公元前 3000 年到约前 500 年的美索不达米亚泥板，其中许多泥板包含土地的简图，或因勘查业务而生的几何建物的地图。很显然，应该就是这些泥板抄写员接着发明了几何代数、毕氏法则以及二次方程，这是基于实际的土地运用与会计难题而产生的。他们对于证明并不感兴趣，只关心土地测量例如距离与面积的各种算法，他们称之为手持绳索与测量芦苇的女神尼莎芭（Nisaba）的智慧。
阿蒂亚与泽基的公式名单中只有很少的探险家结果，或许是因为他们的成就通常不以公式呈现，但是其中仍然包含了三颗宝石：#12 的芒德布罗集（Mandelbrot set）；#15 是将一整数以两种方式表示成立方和，因为拉曼努真（Srinivasa Ramanujan）将这个表示告知利特尔伍德（John Littlewood）而闻名；#28 是 可构成直角三角形。
顺便一提，由费德曼（Bob Feldman）和洛克摩（Dan Rockmore）所启动的 Concinnitas 计划，邀请了十位数理科学家选出十个公式。其中包含了从有限单群选出的一颗宝石：芮（Rimhak Ree）所发现的群。另外，在我自己的研究里带来无穷乐趣的事情之一，就是发现特别而无人知晓的几何物体，例如我曾发现一个负曲率的代数曲面，但是它的同调群却和正曲率的 一样。
炼金师
对许多人来说，数学中最美妙的结果，莫过于面对两个非常遥远的主题，却能揭露两者之间的深刻关系，例如代数与几何、代数与分析，或者几何与分析之间的连接。这样的连接暗示了某种隐藏的统一性，只是以前被我们的凡人之眼所忽略，唯有偶然窥见时才绽放炫目的光芒。
一个早期的范例是三等分角的几何问题与解三次方程的代数方程之间的连接。前者是古希腊传统的重要未解问题之一。而在文艺复兴时期，意大利代数学者发现了一个神秘的三次方程的解公式，即使在根都是实数解的情况，他们的公式本身却导引出复数以及其立方根解。大约 1593 年，法国数学家韦达（François Viète）成为建立其间连接的“炼金师”，他说明一旦可以三等分角就可以解相对应的三次方程，反之亦然。不过一直等到 18 世纪，另一个法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre）才能以他的公式
真正解释这个结果，这也是不折不扣的炼金术。不过我将 18 世纪与 19 世纪初的大数学家——瑞士的欧拉与德国的高斯归类为“露天采矿者”，他们揭示了隐藏于复数代数背后的二维几何。棣莫弗公式的欧拉形式出现在阿蒂亚与泽基公式名单的 #1 与 #5。
另一位典型的炼金师是我的博士论文指导老师查利斯基（Oscar Zariski），他最深刻的工作，是揭示了由纯代数学家所发展的交换代数工具，拥有重要的几何意义，能够用来解决某些代数几何意大利学派所引出的混乱议题，尤其查利斯基主定理（Main Theorem）以及解消奇点的研究，更说明了整闭包（integral closure）和赋值环（valuation ring）概念与几何的关系。他经常说最好的研究不是证明新定理，而是创造可以一用再用的新技术。
黎曼—罗赫定理（Riemann-Roch theorem）是炼金师知名的宝贵资源。刚开始，这个定理连接了复分析与代数曲线的几何理论，接着借由纯代数扩张到特征数 的情况，然后又被希策布鲁赫（Fritz Hirzebruch）用当红的代数拓扑工具推广到高维。再后阿蒂亚和辛格（Isadore Singer）将它连接到一般椭圆偏微分方程组，一举将分析、拓扑、几何连接起来。阿蒂亚很谦虚地没将这个公式放到名单中，不过他倒是手书其中的特殊情况——希策布鲁赫示标公式（Hirzebruch signature formula），收在费德曼和洛克摩的 Concinnitas 计划中，以细点蚀刻（aquatint）制成版画呈现。
在这一系列公式版画里，还囊括了戴森—麦克唐纳（Dyson-MacDonald）的 组合公式，这些是复分析的数值，是显然的炼金师杰作。最后，还有一个十分怪异的 公式，是阿蒂亚与泽基的 #14 公式。我怀疑作者收录这个公式，是因为他们猜测许多人会认为这是个丑公式。对于这个公式的来源我毫无概念，不过发现它的人隶属于“巴洛克炼金师”子部落。它和 更简明但无疑是炼金公式的 #30 正好形成对比。
角力士
与数的角力可以回溯到阿基米德，他喜欢估计 值，玩赏巨大的数。至大和至小对角力士充满了吸引力。微积分出自牛顿与莱布尼兹的研究，就莱布尼兹的微积分思路，我们必须区分无穷小（infinitesimal）与无穷小的平方，相较之下，后者比前者是更无穷的小。对无穷大和无穷小采取放任的心态，主导了 18 世纪数学家的思考，更导致荒腔走板的炼金研究，像是以下颇为奇怪的公式就来自欧拉：
当然，欧拉知道这些算式只有从很特别的角度来观看才有意义，他自己并没发疯。事实上，也许有很多人会认为上述式子是很美的公式。在那个时代，更值得注意且能让人理解的角力士成就，是逼近 的斯特林公式（Stirling's formula，#41）。
角力士部落的现代之父应该是19世纪的法国数学家柯西（Augustin-Louis Cauchy），正是他最后将微积分严格化了。以他命名的柯西不等式，也就是，两向量内积的绝对值小于或等于两向量长度的乘积：
仍然是数学中仅有最重要的不等式。阿蒂亚与泽基将与它相关的三角不等式放在 #25。
我所受的训练不是角力士，不过后来因为应用数学的研究而学到一些。我真心爱上俄国分析学家索伯列夫（Sergei Sobolev）美妙的不等式，其中最简单的情形足以描述许多近世角力士所处理的问题：设 是光滑实函数，对任何两个实数 ，有以下柯西 不等式的简单推论：
于是数学家会说导数的平方积分上界“控制”了逐点的函数值。
当我在哈佛大学教代数几何时，我们习惯将纽约大学库朗学院的分析学家想成场上的壮硕汉子，全部都是角力士。相反地，我也听说他们用“法国酥饼”这种字眼，描述穿越大西洋从巴黎传到哈佛的抽象数学方法。
除了库朗学院的一干数学家，丘成桐是我曾经接触的最令人赞叹的角力士。有一次，他展示如何很快地推导出一堆我竭思耗神想要处理的不等式，他告诉我掌握这项技巧是他研究生学习过程的一大步。
重要的是我们必须认识到，在纯数学的世界之外，不等式对经济学、计算器科学、统计学、对局论、作业研究等领域来说，都是核心工具。或许唯有纯数学才是脱离常轨执着于等式，而大部分的现实世界则是以不等式来运作。
阿蒂亚与泽基名单上的角力士公式，还有 #11 的康托不等式、#26 的质数定理、#38 的对数凸性。
侦探
针对费马的宣称，当 时， 没有正整数解，怀尔斯（Andrew Wiles）说他曾经着魔般地钻研了八年。在美国公共电视网（PBS）的访谈里，怀尔斯这么描述这段经过：
我习惯每天进书房，试着找出模式。我尝试做些计算来解释一小部分的数学疑问，尝试将它与某些数学已知的广阔架构整合，进而厘清我正在思考的特定 数学问题。有时我会去查书，看看别人怎么处理；有时我得试试更改想法，再多做点计算；有时我会发现这些以前根本没人研究过，甭谈如何运用。这时我就得发展全新的想法，该如何解决还是一个谜。这个问题基本上一直盘旋在我的脑海。一早醒来想到它，整日思考不懈，一直到就寝也不放过。如果没有其 他事分心，这个问题就会这样无时无刻占据我的心神。唯一能令我放松的只有跟小孩相处的时光，年幼的他们根本对费马毫无兴趣，他们只想听故事，而且绝对不让你沾别的事情。
虽然怀尔斯的情况比较极端，但这样的追寻过程所有数学家都能心领神会。英国数学物理学家彭罗斯（Roger Penrose）也曾经类似地描述他的研究方法：“我自己的思考方式是长期的琢磨，我希望能深刻而长远地理解问题 …… 从来不曾放弃这些问题。”
基本上，这就是大众对数学家的标准看法——寻找线索，追踪足迹，时而踏入死巷，其目的只在于追求大定理的证明。不过我认为更正确的说法是，这是做数学的一种方法，一种风格。许多这样的数学家担心会被某个他们永远无法完成的陷阱所困。普林斯顿高等研究院的沙纳克（Peter Sarnak）曾经用一句话描述数学家的感受：“数学家特征的心境就是处处受阻。”
克雷（Landon Clay）赞助选出七个最深刻而困难的数学问题，并给予每道难题奖金百万美元，但这对数学的功过难论。为数学证明赋予金钱价值是件很怪的事，而目前唯一够资格的得奖者佩雷尔曼（Grigori Perelman）更回绝了这笔奖金。不论如何，我相信数学家通常都很娴熟于某个范围的相关问题，即使不见得会积极研究其中任何一个问题，但是这些问题从不会远离他们的意识。偶尔，有些线索会显现，或许是某种连接的暗示，然后很多搁置的想法突然又出现，幸运的话，这些问题中的一个或许能有所进展。
在这些想解决大问题的数学家当中，有一小群人能够针对问题，思考无他人能及、更深层、更抽象的意义。他们这样的侦探认定答案深深埋藏，必须剥除情境中所有偶然的，因此与正确理解毫不相干的特性，只有在底层才能发现真正的机理、启动一切的根源。逻辑上似乎只能称这些人为有点不雅的“露天采矿者”，但我并无贬意。20世纪中，能实践此哲学的最伟大的近代数学家是格罗腾迪克（Alexander Grothendieck）。在我遇到过的所有数学家中，他是我可以毫无保留称之为“天才”的人，当然在他之前还有别人。
我认为欧多克索斯以及他精神上的继承者阿基米德都是“露天采矿者”，他们所到达的层次基本上就是实数的严格理论，以此他们可以计算许多特别的积分。欧几里得《几何原本》的第五章与阿基米德的《力学定理的方法》（The Method of Mechanical Theorems）足以见证他们挖掘的深度。几个世纪之后，印度的阿耶波多（Aryabhata）也十分独立地深掘到近似的层次，他基本上发现了导数，并将它引入特定的微分方程。不过我们不可能以文献完整证明这些数学家的成就，因为他们的研究目前只剩断简残篇，我们也无法充分重建他们工作时代的数学世界，也就是他们的发现脉络。
不过不论是格罗腾迪克的概念，还是他研究时之前与之后的数学世界，都有非常清楚的文献纪录。他认为解决数学问题的实质工作，就是找到适合的层级（le niveau juste），让我们得以用妥当的普遍性层次，为问题找到正确的叙述方式。事实上，他激进的抽象概念如概形（scheme）、K 群等，因为解决大量的老问题并转换整个代数几何的风貌，充分证明了这些概念的价值。阿廷、泰特（John Tate）和我在为他写的悼文中记录了四项他最伟大的成就，这篇文章将刊登在《美国数学会通讯》（Notices）上。这真是无上美味的法国酥饼。
对我来说，阿蒂亚与泽基名单上有许多公式出自“施洗者”子部落。#10 是 的定义；#13 是函数的定义；#21 是 ；#24 是特征向量（eigenvector）；#47 是默比乌斯映射（Möbius map）；#48 则是柯利弗德代数（Clifford algebra）。
他们的名单中有很多公式我还没提，其中许多似乎是理论尚在发展的暂时结果，是进行伟大研究的侦探所发现的。我很难评断哪一条公式比较美。它们之所以 吸引人，是因为召唤了它们置身其中的优美理论。例如 #36 的 ，布朗运动的变异数十分重要也很美，不过我认为这是更基本原理的自然结果，也就是将两个独立的随机变量 和 相加，其和的标准偏差是毕式定理的随机性版本：
脑区如何对应不同形式的美感
很显然，不同部落的人对于特定数学公式或定理的相对之美会有不同的评断。我想依序讨论各个部落，讨论他们的大脑可能会发生哪种皮质活动。
许多探险家显然能从《自然系统》（Systema Naturae）感受到巨大的悸动——那些他们探险家同僚所找到的奇草、异兽、地志。诡奇的生物例如四维空间的非标准微分结构，持续震撼与对抗常人的可视化。不过我怀疑几何学家有种心灵技巧，让他们能以三维技能为基础，支撑其高维几何构造的感受。于是几何构造像是手术操作（surgery）与双锥操作（suspension），可以从最简单情况的可视化开始，然后心灵基于此建立一种技能，让更普遍的情况都能以模拟来掌握。我记得查利斯基上课偶尔挂黑板时，会在角落画一条代数平面曲线（具有二重交点的三次曲线）借以重启他的直观。
柯斯林（Steve Kosslyn）等人曾经用 fMRI 研究受实验者形成某物体视觉形象时的皮质活动，发现脑部似乎有模式复杂而范围广泛的活动，包括额叶、顶叶、颞叶，同时在我猜测很接近泽基的 mOFC 区的活动则受到抑制。不过非几何学家在他们的研究里可能永远用不到可视化。有一则关于代数学家卡普朗斯基（Irving Kaplansky）但真实性存疑的故事，说他被问到思及“环”时脑里看到什么，卡普朗斯基回答说：“我看到字母 R。”
最为大家共推的“美丽”公式是炼金师的杰作，也就是知名的
这个公式结合了指数增长和圆的几何。当一个公式将两个彼此绝对无关的概念连接起来，你会感到背后一阵凉意，感觉彷佛宇宙并无必要如此运行，于是无法不问上帝“你为什么让这一切发生？”也就是说，那种紧缠不放的神秘感很难驱散。当我们无法理解为什么会发生某种事，感受到某种神秘事件时，哪一个脑区会活跃呢？想设计 fMRI 实验寻找“神秘中枢”应该不太容易，不过我相信炼金师在这种神秘里感受到无上之美。
角力士的心中感受又是什么呢？我的猜测是估计数学事物的大小和相对强度，和我们的社交行为也就是与达尔文式的最适者天择有关。动物的一生所关注的是要足够强壮以获取所需。很多物种生存在社会阶层架构中，个体必须尽快学习应该顺从谁，可以控制谁。邓巴（Robin Dunbar）发现生物有效社交群的大小随着脑容量的大小呈指数增长，因此人类的大脑应该有大范围的皮质区域，贡献于深刻理解大群体的互动，平均来说，他估计一个人的朋友数量大概是 150 人，所谓朋友是那种“你偶然在酒吧遇到，可以毫不尴尬加入一起喝酒的人”。
虽然我还没看过以此为研究焦点的脑部实验，我觉得大脑必然会有块皮质区域专责于学习社交结构与其中包含的双人关系复杂网络（也许是前扣带回皮质（anterior cingulate cortex））。由于这些活动在我们的大脑和生活中都如此重要，因此我觉得在赋予数学对象（尤其是函数）各种大小结构（如成长率、光滑程度等）时，我们会运用到这些内建的、创造社层等级的机制。我的意思并非将数学的大小结构拟人化，我只是认为基于演化，我们早已具备制作类似偏序图（partially ordered graph）结构的能力。
解决谜团是侦探部落的基本动机，也是赋予他们最大快乐的目标。在这种情况，并不需要美丽的公式来概括他们的解答，光是证明本身就够奇妙而优美（忏悔：我个人发现像数独这种愚蠢的谜题还真令人爱不释手），这显然是前额叶活动的主要方面——计划你的活动，就像在世上要找到一条受制于各种条件却能走到预定目标的路线。不过数学和真实世界有点不同，你也得预做准备可能会颠倒路线，证明相反的叙述。或许在虚轴之外，黎曼 函数真的有实部不是 的零点。
总之，我以为将异土的抽象世界可视化、寻找新神秘、创建宏大的阶序、解决最困难的谜题，是数学家认为最优美的四个方面，每一种都具备了独有的美感形式，连接到很不一样的心灵生活。我们该期待每种美感的方面，都能固定对应到不同的大脑区域吗？
想想 19 世纪颅相学那些局部对应的大部分特质，长久以来早已不再被当作特定皮质区域的标识。数学美感的感知可能终究也会是更高层的衍生现象，以广布于大脑各处的活动模式来刻画。■
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延伸阅读1. Mumford, David, Blog. 此博客中有许多数学相关文章。
http://www.dam.brown.edu/people/mumford/blog.html
2. Zeki, Semir; Romaya, John; Benincasa, Dionigi & Atiyah, Michael. The experience of mathematical beauty and its neural correlates. Front. Hum. Neurosci., 2014.
http://journal.frontiersin.org/article/10.3389/fnhum.2014.00068/abstract
3. The Concinnitas Project 网站，网站中有文中提到的十大公式版画，这是由艺术书商 Bob Feldman 与数学家 Dan Rockmore 促成的合作计划。《科学人》也将有相关介绍。
http://www.concinnitasproject.org
4. 丘成桐：数学之美与应用
5. Caucher Birkar：数学之美
6. 丘成桐：文化如何影响了创新，如何影响你理解数学之美？
7. 扫描数学家的脑——看到数学之美