中学自学高数的经历竟然让我受益至今

转眼又是一年高考季，又一个学期即将逝去，恰逢最近正重温《普林斯顿微积分读本》，不免一时感慨万千。

在读高中时我有数学奥林匹克竞赛经历，高一就已经自学完了高中课内的数学知识（当然有许多大佬初中就已学完了）。现在回想起高中时期数学的学习经历，最庆幸的就是自己没有一味地沉溺于初等技巧的反复之中；在高中的数学课堂上，我几乎是抚摸着一本绿皮的《高等数学》和一本紫皮的《线性代数》度过的。

因为纯粹是出于兴趣的自学，再加上我们高中是寄宿制（当然也无法带手机），故而我在当时是没有能力接触到能帮助我学会这些东西的其他资源的，只能靠着自己的理解一点点去深入推进。

初学高数，我的内心是激动、满怀憧憬而忐忑的。在我身边的大多数同龄人，我的同学们，他们还在为高中数学中的某些技巧一筹莫展，我却能够学有余力探索更多有趣的领域；而我在当时也定下明确目标：大学一定要进入数学专业，学习更为有意思的数学；不过在高数学习初期，我却时常碰壁。

最开始学习数列极限部分的定义时，我就开始犯迷糊了。于是从那个时候开始决定抄书，尤其是自己难以理解的部分。上大学后我也保持着这个习惯，因为抄书有时候确实能更好的帮助我自己看清每一个条件，注意每一个字眼。我当时比较猛的是把《高等数学》数列极限部分、函数的连续性部分以及除了定积分与不定积分章节后面的所有内容都抄了一遍。

在抄书的过程中，我开始慢慢适应高等数学与初等数学的语言形式差异，但在思想上还是不太能接受这种转变（当时学那本《线性代数》时我实际上更懵）。

同时期，我在隔壁班上有一位因竞赛而结识的好友，我俩时常会在一起讨论怎样解题、分享有意思的数学问题等等。某次我和他吐槽：“我觉得我高等数学学不会了，qwq我好笨”。他说他最近正好买了一本特别有意思的微积分读本（对，就是这本《普林斯顿微积分读本》），可以借我来看看。

我至今都记得这本书当时给我带来的心理冲击。在没打开书之前，我第一反应是——这本书也太厚了，甚至和《高等数学》上下册摞在一块的厚度差不多了！这让我在阅读之前生发出了一种莫名的恐惧。

但当我翻开封面开始阅览前言时，我发现它是如此的特立独行，与我之前所接触到的数学书都不一样，作者班纳教授的风趣幽默在前言部分就体现出来了，彷佛是一位老朋友在和我愉快的聊着天。在快速的看完我已无比熟悉的数列极限部分时，我又产生了新的理解，原来每一个字母背后的意义可以如此的显然、直观、易于理解。并且这本书还有一个很棒的处理，作者希望我们先从直观上建立理解，故而跳过了一些复杂但也有点重要的证明。

我认为这本书最吸引我的点在于：班纳教授不是高高在上的向我一味的灌输知识，而是一位和你讲述、探讨数学故事的风趣邻家老爷爷，是真的想让我学好微积分。

记得数学家华罗庚曾经说过：想要成为一位好的数学教育者，不仅仅在于能记得众多复杂的数学概念，更重要的是能用通俗形象的例子将这些数学概念阐述明了。

本学期有一门课程叫《实变函数》，初学时我发现自己总是不知道如何利用测度语言去写出一个正确而优秀的证明，故而经常陷入深深的自我怀疑之中。一次与老师沟通，老师表示：“不会写证明很正常，那你就把命题弱化，弱化到你能证明的情形先证明就行。例如需要证明某个一般可测函数的性质，咱不会证明就先证明非负可测函数的情形，还不会证明就再退化到非负简单函数的情形，总能证明出来的。哪怕一开始有错误也没关系，多尝试就行，数学就是这么不断尝试出来的。”

最近重温《普林斯顿微积分读本》，我就能从中深深地体会到老师所说的那种方法，因为现在大多数的教材往往略去了我们对于一个命题最初的看法，只会给出一个精炼后的标准证明，不是这样不好，而是对于初学者而言很难体会到一个定理与概念提出的动机，每一步操作的缘由，这是“反人性”的。本书恰到好处的保留了作者的“内心独白”，在阅读的过程中会不由自主地佩服班纳教授对于读者心理的预判，并能给出恰到好处的提示。

有时也会在身边听到一些对于这本书的负面评价，无非是认为这本书“内容简单、语言啰嗦”。个人认为这实际上恰恰相反，能产生这种感觉的读者一定是自身水平不低的，那么他们所掌握的知识实际上已远远超过这本书所教授的部分。那么为什么会产生这种想法呢？是因为读者已经能将这些知识内化于心，并能将其简洁的表述出来。打个不恰当的比方：这就像童年时总认为小学老师是无所不知的，但进入高等教育之后，还会有多少人仍然能保持这份想法呢？但也正是他们的淳淳引导，我们才能在内心种下求知成长的种子，才能循序渐进、稳扎稳打地开始求学之旅。

孔子曰：“学而时习之，不亦说乎。”每次看到这本书，我都能从中学到不少，不仅仅是知识层面的，它还教会我该如何正确的对待数学学习，应该保持一个怎样的学习心态。

无论将来我的数学学习到了哪个阶段，我都会记得第一次遇见它的那个下午，因为那是我真正意义上高等数学学习开始的地方，它让我真正的开始迈入微积分殿堂；尽管我知道，我始终都会以学徒的身份待在一角，但能够迈入这个殿堂之中，本身就是一种享受。

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本文作者槿灵兮，数学与应用数学专业，知乎答主，关注者9.5w+，曾获全国大学生数学竞赛北京赛区二等奖。分享高数自学经验，希望你可以少走弯路。