黎景辉等：基础数学课程计划
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基础数学课程计划
作者：扶先辉，东北师范大学数学与统计学院
黎景辉，河南大学数学与统计学院
朱一心，首都师范大学数学科学学院
1.引言
扎实的基础科学研究是我们建设世界科技强国的基石.正如李克强总理指出的:“‘卡脖子’问题根子在基础研究薄弱上”,“数学则是基础研究的基础，是其他科学研究的主要工具”[ 李克强总理在2019年9月2日主持召开的国家杰出青年科学基金工作座谈会上讲话.].数学也是自然科学语言和精密工艺的基础.为了大幅度提升原始创新能力，深化基础科学研究，我们需要培养一批具有高水平数学知识和创新能力的基础研究人才.进入21世纪以来我国非常重视基础数学人才的培养，在一流高校设置了各类人才的培养计划.例如教育部的强基计划[ 教育部2020年[教学〔2020〕1号]《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》]，基础学科拔尖学生培养计划[ 教育部等六部门[教高〔2018〕8号]《关于实施基础学科拔尖学生培养计划2.0的意见》]和双一流学科[ 教育部、财政部、国家发展和改革委员会联合发布[教研函〔2017〕2号]《关于公布世界一流大学和一流学科建设高校及建设学科名单的通知》]，都包括数学学科的人才培养计划.在这些专门计划以外的一些有能力的数学院系，也多有举办实验(或卓越)班，以帮助有志于学习和研究数学的青年学生，追赶强基拔尖计划的水平.
中国的文明和文化，与西欧以及从地中海、印度地区的不同，因此在人才培养和科学、工程的发展上，只能走中国特色的道路.我们从两位优秀科学家的生平，来管窥这个道路.一位是杂交水稻事业的开创者和领导者袁隆平先生. 袁隆平1953年毕业于地处重庆的西南农学院，分配到偏远落后的湘西雪峰山麓安江农校教书.1964年开始杂交稻研究.1971年春袁隆平调至湖南省农业科学院杂交稻研究协作组工作，后来在杂交水稻培养方面作出了卓越贡献.另一位是大数学家华罗庚先生.1922年，12岁的华罗庚先生进入金坛县立初级中学.1925年初中毕业，因拿不出学费而回家帮助父亲料理杂货铺，故一生只有初中毕业文凭.此后，他用5年时间自学完了高中和大学低年级的全部数学课程.1930年清华大学数学系主任熊庆来了解华罗庚的自学经历后，举荐华罗庚进入清华大学图书馆担任馆员.1931年，华罗庚任清华大学数学系助理.1933年升任助教，1938年任清华大学数学系教授.从袁先生的经历我们注意到，不一定要从一流的学校毕业、在设备最先进的研究所工作才有伟大的工作.从华先生的经历我们注意到，基础数学是可以自学的.本文的目的就是要为非一流学校的基础数学学习者提供学习的帮助，介绍基础数学课程计划和所需书籍.
学习数学的过程中，有相当多的时间需要花在思考实验上，这种思考实验发生在和师友的讨论，或自己的深思和阅读.这样，不论有没有上课、有没有导师指导，学习数学很大程度上是自学的.于是一个好的恰当的基础数学课程计划，对学习者是非常重要的.考虑到我们独特的国情，设计一个立足我国实际的基础数学课程计划，对于解决学习者的数学学习问题、培养有中国特色的世界一流数学人才队伍是非常有必要的.
“十四五”规划纲要明确指出“深入推进全民阅读”[ 2021年3月11日，十三届全国人大四次会议表决通过的《关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》第35章第二节.]，为实现中华民族伟大复兴的中国梦提供强大精神动力和文化支撑.本文的课程计划，也是一个数学书阅读指南，可以帮助学习者完成高级数学阅读任务.一流的大学，当然有很好的数学课，以培养优秀的年轻人.然而在我们这么大的国家，还有很多年轻人，他们不一定有机会进入一流大学，但他们仍然有兴趣学习一点深入的数学.希望我们的课程计划可以支持帮助这一部分人的发展，给有志于学习数学年轻人提供学习指导.事实上我们的课程计划是中学生也可以开始学习的，第一阶段的课程就在国内的一些中学试行过.我们相信，只要给他们指出一条路，很多年轻人是可以学好数学的，由此可以不负韶华奋力为祖国的富强作出更多贡献.
基础数学的内容是不会随着时尚和市场而改变的，是一种可以毕生使用的学问.学习一些高水平的核心基础数学，肯定可以增加年轻人谋求职位或升学的条件.特别是进一步到了专门研究所，无论最后从事哪一个专业，这些核心的基础数学便是各种研究的硬功夫.我们相信，通过学习一个高水平的课程计划获得的实力，会有助于学生进入好的研究所.
我们认为，在读本科学生不应该把准备考研当作为考试而进行的操练.一个比较恰当的态度是把考研当作是四年学习的总结汇报，能够说清楚学了什么内容、相互有什么联系.学过一个高水平的基础数学课程计划，会提高自己系统认识数学的能力，因而便有了值得总结汇报的内容.这样，考研准备其实从学习基础数学课程计划那一天便开始了！不单如此，学习数学并不是只为考试过关，一个好的课程计划培养出来的学生，应该有深厚广阔扎实的功底.这样学生才有坚定的自信、强大的适应性、充足的后劲力，去竞争、发展、创新.
“我们要以科学的态度对待科学，以真理的精神追求真理” （习近平总书记2018年4月23日），我们要让数学为社会主义建设取得新的时代内涵，为国家现代化创造选择，为我国经济发展和生存提供保障. 为此我们要为各阶层的青年人提供帮助和指引学习数学.
2.本科基础数学课程计划
| 阶段 | 课程 | 上学期 | 下学期 |
|---|---|---|---|
| 一阶 | 分析 | 微积分 | 微积分 |
| 代数 | 线性代数 | 代数结构 | |
| 二阶 | 分析 | 流形微积分 | 复分析 |
| 代数 | 拓扑学 | 域论 | |
| 三阶 | 分析 | 微分几何 | 泛函分析 |
| 代数 | 同调论 | 同伦论 | |
| 四阶 | 分析 | 调和分析 | 偏微分方程 |
| 代数 | 交换代数 | 代数几何 |
3.使用方法
我们的基础数学课程计划基于这样的思考：一方面要求课程计划内容齐全，水平接近国内外高水平数学院系的基础课程.另一方面要求课程计划的安排有灵活性.因此我们的课程计划是分阶梯，而不是分年级.这是说有能力的二年级学生可以念三阶的课.一个形象的比喻是把这个课程计划看成一趟从广州开往北京的列车；中间有很多个站.学生上一门课程就好像坐了这列车的一段路程，比如说，从长沙到武汉.有些学生把所有的课都念了，就好像坐全程，从发车站到末站.有些学生只坐几段，因为他有另外的特别需要，然后花时间去念了别的应用数学或计算数学.学生亦可以按自已的兴趣，在导师指引下从这个课程计划中选课.这样我们的课程计划就好像园中大树的树干，可以作为数学院系的学科基本参考，数学院系的其他的课可以看作课程计划的补充.有条件的数学院系可以为实验(或卓越)班开出我们建议的整个课程计划，或用这个课程计划构造本硕连读的课程.至于条件较弱的院系，可以从这个课程计划中选择一部分课程，办个小实验班；例如为四年级的学生开课程计划中的一阶课程.
4.选用课本
一阶：
上学期——线性代数：S.Friedberg，A.Insel，L.Spence，Linear Algebra，Fifth Edition，Pearson，New Jersry，2018. 下学期——代数结构：C.Chevalley，Fundamental Concepts of Algebra[M]，New York，Academic Press，1956. 分析：上学期+下学期——微积分：王昆扬，简明数学分析[M]，北京，高等教育出版社，2001. 代数： 二阶：
下学期——域论：S.Weintraub，Galois Theory[M]，New York，Springer，2009. 上学期——流形微积分：陈维恒，流形上的微积分[M]，北京，高等教育出版社，2003. 下学期——复分析：L.Ahlfors，Complex analysis[M]，Third edition，New York，McGraw Hill Co.，1979./ O.Forster，Lectures on Riemann surfaces[M]，New York，Springer，1981. 分析： 代数：-上学期——拓扑学：江辉有，拓扑学基础[M]，北京，科学出版社，2020. 三阶：
上学期——同调论：姜伯驹，同调论[M]，北京，北京大学出版社，2006. 下学期——同伦论：M.Aguilar，S. Gitler，C. Prieto，Algebraic Topology from a Homotopical Viewpoint[M]，New York，Springer，2002. 上学期——微分几何：陈省身，陈维恒，微分几何讲义[M]，北京，北京大学出版社，1983. 下学期——泛函分析：张恭庆，林源渠，泛函分析讲义[M]，上，下，北京，北京大学出版社，1987. 分析： 代数： 四阶：
上学期——交换代数：M.Atiyah，I.MacDonald，Introduction to commutative algebra[M]，New York，CRC Press，1994. 下学期——代数几何：Fu Lei，Algebraic Geometry[M]，北京，清华大学出版社，2006. 上学期——调和分析：M.Pinsky，Introduction to Fourier Analysis and Wavelets[M]，American Math Society，2002. 下学期——偏微分方程：L.Evans，Partial differential equations[M]，北京，高等教育出版社，2017. 分析： 代数：
5. 评述
四点说明.
(一)本节是本文的核心部分.我们将我们的基础数学课程计划作解释，借用课程选用的教材来陈述对课程水平所作的要求，并以此说明课程计划是由高水平的课程组成的.亦因此建立课程计划的品牌，让用人单位从选用教材上确信，通过课程计划培养出来的是有实力的优质人才.我们认为课程计划具有这样的说服力，因此，课程计划也应该可以对得起使用它的学生. (二)课程计划中选用的课本是我们选取的样例，并不是绝对唯一的选择. (三)可能有人会认为我们的课程计划包含了太多代数成份.建议其他老师多写几个别的课程计划，让学生知道有各种不同的、更适合自己的基础数学学习计划. (四)我们在文章[1]指出: 一方面新的数学成果不停涌现，另一方面我们的中小学数学课的内容停留在十九世纪，大学数学课的内容基本上是五十年前的，因此我们建议将二十世纪的数学适当的安排在大学课程里进行传授.在文章[2]我们指出:为了加强中学数学和大学数学的连接，我们应当还原中学数学的结构性.我们的课程计划是反映了这两个观点的.
以下按课程的次序介绍所选的教材并对计划给出详细的说明.
5.1 一阶：分析：上学期+下学期——微积分
在任意一个书店网站输入微积分或数学分析这两个词，会搜索到很多教材.仔细分辨一下，发现它们基本上是一样的，只是一百年前欧美课本的稍微变化，一些技巧性内容选择的多少而已.我们建议的分析教材是王昆扬编写的《简明数学分析》.这是一本几乎独一无二、的优秀分析教材.它把20世纪的数学分析的核心基础说清楚了，而不是一本微积分考题技俩的集成.用这本书进行分析入门学习，学生可以不用在不同的课程中重复学习同一概念而浪费时间.除了在北京师范大学之外，王老师多次在北京和青岛的中学里为中学生教授此课本，取得很好的效果.我们择要谈这本书的两个特色.一是把实数域定义为有理数域的完备化，这是和Bourbaki的做法一样的，不像大多数课本用的Dedekind方法那样费解，并为以后泛函分析和代数数论遇到完备化问题作好准备.二是直接讲Lebesgue积分，这是比Riemann积分更好的理论，也给我们机会在课程计划一开始就引入测度论.作为补充我们有以下的建议，在第三章之后补充习题3.4中第5题至第8题的证明.因为历史的原因，在工程和物理学中的很多应用是用Riemann积分处理的，金融数学的课本中亦常用Riemann积分来说明随机积分.因此我们建议在第三章之后补充一些Riemann积分应用的例题，如可以参考复旦大学编《数学分析》下册的第三章和第六章.
5.2一阶：代数：上学期——线性代数
每个学期，全国不同学校也许有五百个“线性代数”课程在同时开设，不同的学校不同的老师的线性代数课是略有不同的.上一世纪我国的“高等代数”一般是指线性代数.本世纪我国代数老师谈“高等代数”可能是Lurie的∞范畴高等代数了.北京大学李文威的《代数学方法》下册，线性代数就以淡中范畴对偶为终结了.国内几个重要出版社如科学出版社，高等教育出版社，北京大学出版社，清华大学出版社，出版的“线性代数”则是差不多一样的，都是以解线性方程开始，然后是n维空间和向量空间.按这样的安排，线性代数是从中学生水平的解二、三个变元的线性方程组过渡到解n个变元，然后进入n维空间.但是却没有说清楚怎么样得到这个向量空间.很多人认为这样的安排可以使得学生理解比较自然，我们不同意这个安排.因为这样学生便不能摆脱“线性代数就是解线性方程”这个想法，而忽视了线性代数的中心内容：线性结构.因而错过了第一次机会学习认识现代数学的本质：结构性.学生缺少对这个本质的理解产生的严重不良后果是，慢慢的无法继续学习数学.我们的建议是，从向量空间和线性映射开始线性代数，一开始便面对这个巨人：线性结构.我们正在编写一本这样结构的《线性代数》，在此书出版之前，还没有合适的中文教材.目前我们选用的教材是内容进展较慢、比较容易念的.另外一个选择是Lang，Linear algebra[3].
5.3一阶：代数：下学期——代数结构
我们选的又是一本几乎独一无二的小书.作者仅用了二百多页便介绍了群、环、模和代数的基本结构以满足学习拓扑学、分析和代数几何学的需要.这本书的惊人优点是速度和深度兼顾.要补充的是范畴学的基本知识，为此可以参考李文威《代数学方法》卷一[4]第1，2章.作为所选书第III章的辅导，我们建议参考Michael Artin的Algebra[5]，第14章.如果希望多认识一些群的例子，我们推荐Michael Artin的Algebra[5]第6，7章，那里讨论了二十面体群.关于二十面体群的数学并不简单.朗兰兹纲领的第一个非凡情况：GL(2,Q)对应的唯一未解决的情况，就是关于二十面体群的.代数几何学大师Michael Artin是代数学大师Emil Artin儿子；我国第一代的代数学家对Chevalley和Emil Artin并不陌生，也许听过他们的课(见黎景辉，张英伯[6]).李文威《代数学方法》的水平比我们所选的教材高.学哪一套书，就看求学人的能力.借此也说明了我们选择的教材只是例子，并不是绝对唯一的.
5.4二阶：分析：上学期——流形微积分
在这门课中，透过微分流形的学习，我们将第一次遇到现代数学的一个重要基本概念：局部与整体的对立.正如陈省身先生说：流形内的坐标是局部的，本身没有意义；研究整个流形的主要目标是，研究那些经过坐标轴变换而保持不变的性质.我们选用的是陈维恒的《流形上的微积分》.这本书的第一章的内容已经在二阶上学期的拓扑学课学过.可以从第二章：光滑结构开始学习.学习第三章：积分，应该与一阶：分析：微积分：王昆扬《简明数学分析》的第五章作详细比较.学习完第四章：微分算子，若还有能力，便可以看Grigoryan [7]的Chapter 1，2，3 .这样在拓扑学和积分方面承继了前面的学习.陈维恒是和陈省身合写的微分几何学，后面我们也会用到.以后学了泛函分析之后，又可以继续念Grigoryan的书[7].如此二阶流形微积分的这个安排，可以说是启后了.
5.5二阶：分析：下学期复分析
我们可以找到很多关于复变函数论的课本.我们选的是世界一流的分析学家Ahlfors(菲尔兹奖1936年)经过二十六年三次修正的作品.全书内容丰富清楚无错易读.不过在念第8章之前，我们建议念Forster的黎曼面，学习黎曼面是急不得的.Forster的书不厚， 条理分明容易学习.例如在第1章第6节只用了4页文字，便把全书需要的层论说清楚了.学习单复变函数论不能不学习黎曼面，否则像对数函数log或微分方程的Riemann-Hilbert对应，没有黎曼面总是说不清楚的.
5.6 二阶：代数：上学期——拓扑学
我们计划的拓扑学课程目的是讨论连续映射的基本性质，这些性质出现在分析、微分方程、微分几何、代数几何和代数拓扑学中，因此拓扑学是整个课程计划中不容忽视的关键课程.我们在第二阶上学期开设拓扑学，以后无论是复分析、泛函分析、同调论、同伦论都不用重复初等拓扑概念了，这就避免不停重复而浪费学生的时间.拓扑是个数学结构，有它才可以谈连续，序列收敛，极限和层.从一条“连续”丝线的直观，推广到一个集的拓扑，以至一个以层为对象的范畴，是20世纪数学的一个不可思议的创举.我们没有找到合适的教材，目前最佳的选择是江辉有写的《拓扑学基础》.这本书包含了大部份我们要求学生在这个阶段学好的内容.
5.7二阶：代数：下学期——域论
如果我们面对的现象有对称，那就是说，这个现象有一个群作用的结构.带群作用的结构是现代物理学和数学的核心研究对象.Galois(伽罗瓦)理论便是这种结构的第一个例子， 也是代数数论的起点.通常这部分内容会是一本比较厚的课本，如Bourbaki[8]或Lang的Algebra[9]的一部份，我们选了一本比较容易念单讲域扩张的教材.这样的选择，实际是放弃了环论(Jacobson[10])、代数结构(Albert[11])、代数数论([12])、李群和李代数(Varadarajan[13]).不过有兴趣多学点代数的学生，还是可以念这些书的.
5.8三阶：分析：上学期——微分几何
有了微分流形之后， 一个方向便是研究流形上的微分方程理论和变分理论.另一方面陈省身先生的北京大学的讲议中说：微分几何的主要问题是整体性的，即研究关于整个空间的性质.向量丛便是流形上的整体结构；在微分流形上最重要的向量丛是切丛，连络便是切丛的微分算子了.陈先生的书里就是这样展开他的微分几何观点的.我们认为不论日后的专业是什么，学生在这个阶段念陈先生的讲议必得益非浅.若有兴趣和三维空间的曲线和曲面作比较，还可看Do Carmo[14]. 无疑会有人觉得陈先生讲的张量分析有点旧, 但这些对阅读Atiyah (菲尔兹奖1966年), Donaldson (菲尔兹奖1986年), Drinfeld (菲尔兹奖1990年), Hitchin, Manin, Witten(菲尔兹奖1990年). 杨振宁(1957年 诺贝尔物理学奖)等人的数学物理的文章还是有帮助的; 此外前面建议的Grigoryan [7] 谈微分几何的泛函分析方法是可以补充陈先生的书.
5.9三阶：分析：下学期——泛函分析
上世纪下半叶是泛函分析发展至成熟的时代，今天不同的老师对学生的泛函分析基本知识的要求可以是非常不同的.我们选用北京大学张恭庆的讲义，这是公认的优秀教材.在选材、安排和文字上都可以见作者化了很多心思.念完上册，可念下册或改学变分学(张恭庆的变分学讲义[15])和Morse理论(Milnor(菲尔兹奖1962年)[16]).变分学对学习偏微分方程、力学、量子场论、杨振宁—米规范场(Clay Mathematics Institute关于杨振宁—米规范场的存在性和质量间隔假设的问题)都有用.若要学习线性拓扑空间的正或反极限和各种张量积可以看Grothendieck(菲尔兹奖1962年) 的原著，或者简单点念Treves[17]，这些内容常见之于表示论和p进表示论.
5.10三阶：代数：上学期——同调论
我们选用的教材是作者多年来在北京大学讲课磨练出来的.本书使用奇异同调建立拓扑空间同调的基础结构(Eilenberg-Steenrod公理)，然后以胞腔同调处理计算，跟着建立同调的乘积理论，最后证明胞腔流形的Poincare对偶——这是写得很好的，亦补充了Griffiths-Harris的代数几何原理[18]第0章4节不足之处.以后学生将会看到著名的Riemann ζ函数(以至更一般的L函数)的函数方程是从一个同调的Poincare对偶得出(而不只是一个复变函数的计算)，这有助于了解ζ函数的拓扑结构.也就是说：代数数论里是不能没有代数拓扑学的.
5.11 三阶：代数：下学期——同伦论
我们选的是Aguilar，Gitler，Prieto写的《同伦论》，这是为本科学生写的新教材.与经典的教材(如Whitehead[19])比较，这本书是比较容易读.书中利用同伦群再讨论胞腔同调，加深了上学期所学的同调论的认识.它的内容已包含了学习代数K理论(如[20])所需要的同伦论基本知识，亦为进一步学习单纯拓扑学([21])作好准备.此外还可以进一步学习Quillen(菲尔兹奖1978年)的同伦代数，Voevodsky(菲尔兹奖2002年)原相同伦论和Lurie(数学突破奖2014年)的同伦代数几何学.
5.12四阶：分析：上学期——调和分析
我国一向重视调和分析或称Fourier分析的教研，早年的名著有陈建功[22]华罗庚[23]等.因为这个理论在很多种工程计算上的应用，高等教育出版社也出版过一些从俄文翻译过来的教材.我们选的是美国数学会出版的为高年级本科生写的较新教材，这本书也同时包含Fourier分析和小波理论.我们建议有能力的学生同时参考Grafakos[24]，[25]，特别是 6，10，11章.当然这些书与前沿研究是有距离的.为此学生可以向所在的院校的老师请教，或上网自寻.例如若想探讨和高维Luzin猜测相关的：Bochner-Riesz猜测、Kakeya猜测、限制性猜测、局部光滑性猜测，可以到陶哲轩(Terry Tao)的网站看相关的文章，并通过这些资料找到关心这些问题的专家.每年颁发Salem奖给Fourier分析的工作，有人说Salem奖是菲尔兹奖的预备奖，Charles Fefferman，Jean Bourgain，Jean-Christophe Yoccoz，Curtis T.McMullen，Terence Tao，Stanislav Smirnov，Elon Lindenstrauss都是先拿Salem奖然后得菲尔兹奖的.与此相关的另一个方向，便是把欧氏空间的调和分析推广至李群和齐性空间上，在这方面有成就的人包括Weyl，Harish-Chandra，Langlands， Atiyah，W.Schmid，Kashiwara等.
5.13四阶：分析：下学期——偏微分方程
我国几乎每个数学院系都有偏微分方程的专家，有些院系甚至几乎所有老师都是研究偏微分方程的，因此很难说哪一本书是大家认可的最佳偏微分方程教本.不过我们在这里不是为偏微分方程专业的学生选教材，我们考虑的对象是任意一个学基础数学的学生，包括学数论的，学群表示论的，学D模的.为此我们选了一本比较新的、覆盖面更一般的、由美国数学会出版的Evans写的书.在Evans的书中，学生可以重温上学期学过的泛函分析和变分学.看完Evans的书之后，作为比较我们建议念Hörmander (菲尔兹奖1962年)的书[26]——不难感觉到这是一本完全不同的优美作品.当然这些只是数学院系学生的基础微分方程知识.进一步，便可以学习随机微分方程(金融期权定价、随机Keller-Segel模型等)，动力系统(其中的遍历理论、分岔理论)， 力学，流体力学(Clay Mathematics Institute关于Navier-Stokes方程的存在唯一性问题)， 天体力学(可以念名家Lagrange，Poincare，Birkhoff，Siegel，Chandrasekhar(1983年诺贝尔物理学奖)等人的作品)，以至D模和微分方程代数理论.
5.14四阶：代数：上学期——交换代数
我们选用了一本很精简易懂的课本.为补充一些交换代数的经典代数几何起源，我们建议看Kunz[27]的书.若兴趣、时间和能力许可，当然是念无可代替重要的Bourbaki，Algèbre commutative [28]（共十章和极丰富的习题）.
5.15四阶：代数：下学期——代数几何
代数几何学有两种味道.一种是承继十九纪德国和意大利代数几何家的工作，详细研究一个代数簇的性质，像Zariski[29]，Ueno[30]，Arbarello[31]，Kollar[32]等人的书.另一种是寻问有某种代数性质的对象及态射所组成范畴的结构，及其在数论的应用，这是Grothendieck学派的工作.我们选用扶磊写的代数几何，比较靠近第二种味道.他写这本书，是为了帮助大家学习他花了不少心血写的更大的作品：平展上同调[33]，这是我们高度推荐的学习平展上同调的书.在Hartshorne[34]或Griffiths-Harris[18]，可以找到很多经典的实例.念完扶磊这两本书的学生，可能问Clay Mathematics Institute关于Riemann猜想的问题有没有几何意义，或怎样证明Hodge猜想，或BSD猜想的证明的进展.这样便开始进入Deligne(菲尔兹奖1978年)，Faltings(菲尔兹奖1986年)，Drinfeld(菲尔兹奖1990年)，Lafforgue(菲尔兹奖2002年)，Ngo(菲尔兹奖2010年)等人的算术的世界了.
6. 结语
应当指出，对我国目前很多学生来说，这个基础数学课程计划并不是一个容易完成的计划.但是正因如此，成功完成这个计划的学生便具有优秀人才的表现.
参考文献
下面文献不重复罗列文中第4节详述的选用课本.
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感谢作者授权发布，本文发表至《数学教育学报》。