数学家学微积分时是啥感觉？

哈哈，不卖关子了，本文想说的是：清末数学家华蘅芳学习微积分时的心得感受。

我最开始听说华蘅芳的故事是在华东师范大学汪晓勤教授的“数学文化”课堂上，我当时就被这个故事感动了，所以在我后续的课堂中也经常讲起华蘅芳学习微积分的故事。

而今天又想起这个故事，是因为我在《数学教育概论》课上，在讲M·克莱因那段经典的论述：“实在说，叙述数学家如何跌跤，如何在迷雾中摸索前进，并且如何零零碎碎地得到他们的成果，应能使搞研究工作的任一新手鼓起勇气”[1]时，我想到了华蘅芳“在迷雾中摸索前进”的故事（当然，此处的华蘅芳不是去研究一个新的理论，而是去学习已有的理论），于是，我又给同学们讲起了华蘅芳的故事。‍‍‍‍‍‍

晚上到家，我想更清楚地了解事情的来龙去脉，于是又重新查找文献进行研究，只可惜没有找到华蘅芳所著的《学算笔谈》的原文，以下为对各文献的综述，其中《学算笔谈》的原文均转引自备注中的文献，若有需要，大家可以去读原文献。‍

一、微积分像天书，怎么办‍‍‍‍‍‍‍‍‍

华蘅芳（1833—1902），江苏省无锡人，中国清末数学家、科学家、翻译家和教育家，中国近代科学的先驱。华蘅芳少年时酷爱数学，览遍当时的各种数学书籍。二十多岁的时候，华蘅芳专程去上海拜访李善兰。当时，李善兰正同英国传教士伟烈亚力合译《代数学》《代微积拾级》，华蘅芳表示出极大的兴趣。李善兰对他说：“此为算学中上乘功夫，此书一出，非特中法几可尽废，即西法之古者亦无所用之矣。”华蘅芳求知心切，当即便从李善兰的译稿中抄录了若干段落，带回家仔细阅读，但是没有读懂。1859年，《代数学》《代微积拾级》正式出版了，李善兰亲自把书送给了华蘅芳，华蘅芳读了几页，仍然有些困惑，“披阅数页外，已不知其所语云何也” [2]。李善兰告诉他说：“此中微妙非可以言语形容，其法尽在书中，吾无所隐也，多观之则自解耳，是岂旦夕之工所能通晓者哉！”华蘅芳深信此言，夜以继日，刻苦攻读，独立思考，反复琢磨，终于弄懂。后来，他在《学算笔谈》中回顾自己所经历的此段境界，深有感触地说：“譬如傍晚之星，初见一点，旋见数点，又见数十点、数百点以至灿然布满天空”[3]。

二、华蘅芳对微分和积分的理解

在学习了《代微积拾级》之后，1874 年，华蘅芳又与英国传教士傅兰雅共同翻译了第二部介绍西方微积分学的著作 《微积溯源》，作为两部译著的学习者和翻译者，华蘅芳对微积分的认识和理解代表着同阶段算学家的普遍认识，华蘅芳在深入研习《拾级》和翻译完成《微积溯源》后，将自己对微积分的认识和体会撰写在《学算笔谈》中[4]。

微分：

“设有两线于此，一稍长，一稍短，惟长短之所差者甚微，几不能以数计，则此所差之数即为微分。设有两面于此，一略大，一略小，其大小所差者甚微，几不能以数计。则此所差之数亦为微分。设有两体于此，一较肥，一较瘦，其肥瘦之所差者甚微，几不能以数计，则此所差之数亦为微分 ”[2]。

积分：

“惟因体之微分为面，面之微分为线，线之微分为点。今以微分之式而还其原，是从点求线，从线求面，从面求体也，则与求积之意相类，故名之曰积分术”。虽然以上说法并不严谨，但它使得抽象的微分概念有了具体的模型，使学者更直观的认识微分，此微分的定义被晚清学者广泛接受，在之后的微积分著作中都有阐述或体现[4]。

微分与代数的不同：

微分的一些代换方法是代数中所没有的。在华蘅芳看来，代数和微分的最大区别在于，代数注重“已知未知”，微分则不在乎已知未知 ，而注重“常数变数也”。他的这些观点较为精辟地介绍了代数和微分的区别[2]。

《学算笔谈》的卷十、卷十一是谈微分和积分的，第五卷和第十二卷是华蘅芳根据自己治学经验写成的数学思想方法和研习心得，这些都给我们学习微积分以启示。

图1 无锡博物院所藏的《学算笔谈》[5]

参考文献：

[1] 莫里斯·克莱因.古今数学思想:第一册[M].张理京,张 锦 炎,江 泽 涵 译 .上 海 :上 海 科 学 技 术 出 版 社 ,2002.

[2]祝涛. 华蘅芳《学算笔谈》研究[D].上海交通大学,2012.

[3]王渝生. 华蘅芳：中国近代科学的先行者和传播者[J].自然辩证法通讯,1985(02):60-74+80.

[4]薛芳,郭世荣.华蘅芳对微积分的认识[J].课程教育研究,2017(52):228-229.

[5]张祖翼. 《学算笔谈》[C]//北京画院.大匠之门28.[出版者不详], 2020:2. DOI:10.26914/ c.cnkihy. 2020.064386.