一文说透牛吃草问题（18年1月7日）

牛吃草问题又称为牛顿问题，

由大科学家牛顿提出而得名。

许多人只知道牛顿是个大物理学家，

实际上牛顿也是个伟大的数学家。

微积分就是牛顿发明出来的。

牛顿的原题是这样的：

牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，期间一直有草生长。如果供给15头牛吃，可以吃多少天？

这样一个问题，

如果用方程解是比较容易的，

但用算术的方法也是可以解决的。

思考过程是这样的：

假设每只牛每天吃1份草，

由于青草原来就有，

每天生长速度也一样，

那么要计算15头牛吃的天数，

关键在于求原有草的数量和草生长的速度。

在假设每只牛每天吃1份草的基础上，

解题过程分为3步：

第1步：

计算草生长的速度。

10头牛22天吃草总数是10*22=220，

16头牛10天吃草总数是16*10=160。

差额是220-160=60，

多出的60份草就是多出的12天生长的，

每天生长60/12=5份草。

第2步:

计算原有草的数量，

22天内草生长出的数量是22*5=110，

22天时草的总数是220，

因此原有草的数量是110=220-110。

第3步：

计算15头牛能吃多少天。

15头牛每天吃15份草，

但草每天生长5份，只够5只牛吃，

多出的10只牛就只能吃原有的草，

吃的天数是110/10=11。

总结起来，

牛吃草问题解法分3步：

一是通过草的差额，计算草的生长速度；

二是计算原有草的数量；

三是计算给出的问题。

牛吃草问题还有多种变形：

第一种变形是给出吃的天数以计算数量，如：

牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，期间一直有草生长。如果有一群牛吃了11天，请问有多少头牛？

计算方法是：

第1步，计算出草的生长速度是每天5份；

第2步，计算出原有的草是110份；

第3步，11天共生长草55份，加上原有的草共165份，所以牛的数量是165/11=15。

第二种变形是将牛和草化为其他名词，如：

一个池中有一些水，且有一条河水匀速流入水池。10台抽水机同时抽连续22天可抽干，16台抽水机同时抽10天可抽干。若有15台抽水机同时抽，多少天可以抽干？

这道题目中，水就相当于草，抽水机相当于牛，解法一样。

第三种变形是关于永远吃不完的问题，如：

牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，期间一直有草生长。如果有一群牛吃草，但永远也吃不完，请问这群牛最多有多少只？

答案：最多5只。

永远吃不完，说明牛吃草的速度小于等于草生长的速度，草每天生长5份，牛就最多只有5只。

第四种变形是混合其它问题增加难度，如：

小明有一块草地，小王也有一块面积是小明2倍的草地。草地匀速生长，牛每天匀速吃草。小明喂了40只牛，30天吃完了他的草。小王喂了90只牛，20天吃完了他的草。如果两人的草地可以共用，那最多喂多少只牛可以保证牛永远吃不完？

分析：

该题混合了牛吃草问题和倍数问题，

由于将小明的草地面积乘以2就是小王的草地面积，

故小王的牛数除以2就是小明草地上20天对应的牛数，

因此原题目等价于：

小明如喂40只牛，30天吃完草；

小明如喂45只牛，20天吃完草。

这就是一个标准的牛吃草问题。

套用我们前面总结的解题的3个步骤，

第1步，小明的草生长的速度是每天30份，

(40*30-45*20)/(30-20)=30;

第2步，小明原有草为40*30-30*30=300。

第3步，小明和小王的草地总共每天生长草90份，那就最多喂90头牛。

不管怎么变，只要把握住牛吃草问题的核心就可以了。

最后，给出一道思考题，是2016年的华杯赛真题。

思考题：

有一片草场, 10头牛8天可以吃完草场上的草;15头牛, 如果从第二天开始每天少一头,可以5天吃完。那么草场上每天长出来的草够多少头牛吃一天？

选择后，微信回复“20180107”可获得思考题答案。