一个很有意思的推理|教家长辅导奥数（18年7月22日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第566天给出奥数题讲解。

今天的题目是逻辑推理问题，

所用知识不超过小学3年级。

题目（5星难度）：

朋友是相互的，如果A是B的朋友，那么B也是A的朋友。小明对小红说：世界上任意6个人，中间一定可以找出3个人，这3个人要么彼此之间是朋友，要么彼此之间都不是朋友。请问小明说的对么？

辅导办法:

题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答，由家长讲解。

讲解思路：

这道题属于逻辑推理，

乍看上去需要用反证法，

但本题中若用反证法非常复杂，

我们采用分类讨论的方法。

为解题方便，

假设这6个人是A,B,C,D,E,F,

将A作为突破点进行分析。

步骤1：

先思考第一个问题，

B,C,D,E,F这5个人中间，

是否要么有3个人是A的朋友，

要么有3个人不是A的朋友？

在5个人中A的朋友数有两种可能：

第一种当A的朋友数不小于3时，

一定有3个人是A的朋友；

第二种当A的朋友数小于3时，

则一定有3个人不是A的朋友。

下面将对这两种情况分别讨论，

讨论时不妨将这3个人看作B、C、D。

步骤2：

再思考第二个问题，

如果B、C、D都是A的朋友，

小明的论断会不会正确？

这时分析的对象变成了B、C、D,

分两种情况继续讨论：

如果B、C、D彼此都不是朋友，

则已经找到了3个人彼此都不是朋友，

此时小明的论断正确；

如果B、C、D中间至少有两人是朋友，

则这两个人和A彼此之间都是朋友，

此时小明的论断也正确。

由于上述两种情况覆盖了所有情况，

因此在B、C、D都是A的朋友时，

小明的论断正确。

步骤3：

再思考第三个问题，

如果B、C、D都不是A的朋友，

小明的论断会不会正确？

这时分析的对象变成了B、C、D,

分两种情况继续讨论：

若B、C、D彼此都是朋友，

则已经找到了3个人彼此都是朋友，

此时小明的论断正确；

若B、C、D中间至少有两个人不是朋友，

则这两个人和A彼此之间都不是朋友，

此时小明的论断也正确。

由于上述讨论已覆盖所有情况，

因此在B、C、D都不是A的朋友时，

小明的论断正确。

所以综合步骤2和步骤3，

小明的说法是正确的。

思考题：

小明对小红说：世界上任意8个人，中间一定可以找出4个人，这4个人要么彼此之间是朋友，要么彼此之间都不是朋友。请问小明说的对么？

微信回复“20180722”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。