巧解复杂相遇问题（18年9月25日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第630天给出奥数题讲解。

今天的题目是复杂相遇问题，

所用知识不超过小学4年级。

题目（5星难度）：

在一根长为10米的铁丝上，蚂蚁以每分钟1米的速度爬行。任意两只蚂蚁相遇后，都会掉头爬行；如果到铁丝的尽头没有遮挡，蚂蚁会掉下铁丝。在铁丝的最左端，有4只蚂蚁每隔1分钟出发1只往右面爬；在铁丝的最右端，有5只蚂蚁每隔1分钟出发1只往左面爬。如果最开始左右两端的第一只蚂蚁是同时出发的，请问多少分钟后蚂蚁会全部掉下铁丝？

辅导办法:

题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答，由家长讲解。

讲解思路：

如果陷入思维陷阱，

去考虑相遇掉头的话，

这道题将非常复杂。

但如果考虑相遇前后的不变量，

这道题解法将非常简洁。

步骤1：

先思考第一个问题，

每一次相遇前后，

同一方向上的蚂蚁有什么变化？

这个问题很直观，

相遇前后只是2只蚂蚁各自掉头，

从左到右的蚂蚁数量与位置不变，

从右到左的蚂蚁数量与位置不变，

因此，可以把相遇看作直接穿过。

步骤2：

再思考第二个问题，

考虑原题的答案。

根据步骤1的结果，

相遇掉头其实对蚂蚁整体无影响。

故只需考虑左右两端各自的时间：

第一只蚂蚁出发3分钟后，

最左端的第4只蚂蚁出发了，

再经过10分钟掉下铁丝；

第一只蚂蚁出发4分钟后，

最右端的第5只蚂蚁出发了，

再经过10分钟掉下铁丝。

综合上面的2个讨论，

所以14分钟后铁丝上再没有蚂蚁。

思考题 (5星难度)：

在一根长为10米的铁丝上，蚂蚁以每分钟1米的速度爬行。任意两只蚂蚁相遇后，都会掉头爬行；如果到铁丝的尽头没有遮挡，蚂蚁会掉下铁丝。在铁丝的最左端，有4只蚂蚁每隔1分钟出发1只往右面爬；在铁丝的最右端，有5只蚂蚁每隔1分钟出发1只往左面爬。在蚂蚁全部掉下去之前，这些蚂蚁相遇过多少次？

微信回复“20180925”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。