数论问题总是很难||教家长辅导奥数（18年9月28日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第633天给出奥数题讲解。

今天的题目是数论问题，

所用知识不超过小学5年级。

题目（5星难度）：

有没有某个自然数n使2016*n^2等于4个连续自然数的平方和？

注：n^2表示n的平方。

辅导办法:

题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答，由家长讲解。

讲解思路：

本题中条件就一个等式，

判断等式成立的一种方法是余数，

而完全平方数除以4的余数有规律的，

这就是本题的突破口。

先复习两个关于余数的知识点：

设m,n,p,q,a,b都是正整数,

p除以n的余数是a,

q除以n的余数是b,

(1)若m=p+q,

则m与a+b除以n的余数相同；

(2)若m=p*q,

则m与a*b除以n的余数相同。

步骤1：

先思考第一个问题，

自然数p的平方除以4余数是多少？

将p分为奇数和偶数来考虑:

当p是偶数时，设p=2k，

则p^2=4*k^2,

此时p^2除以4的余数是0；

当p是奇数时，设p=2k+1，

则p^2=4k(k+1)+1,

此时p^2除以4的余数是1。

因此余数要么是1要么是0。

步骤2：

再思考第二个问题，

4个连续自然数的平方和除以4余数是几？

4个连续自然数中一定2奇2偶，

结合步骤1的结论，

应用我们关于余数的知识点(1)，

其除以4的余数就是2。

步骤3：

再思考第三个问题，

题目中的等式可能成立吗？

2016除以4的余数是0，

故2016*n^2除以4的余数也是0，

但步骤2中的结论是2，

故等式左右两边除以4的余数不相同，

所以满足题目中要求的n不存在。

思考题 (5星难度)：

有没有两个自然数m,n满足：

m^2+(m+1)^2+(m+2)^2=2019*n^2？

微信回复“20180928”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。