【备战期末】八年级数学上册期末复习要点（北师大版）
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第一章 勾股定理
一、勾股定理
1、直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。
2、勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法„„（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）。
3、勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形。
二、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
三、勾股数
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）„„
四、勾股数的规律
1、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a为奇数且a＜b时，如果b+c=a2，那么a,b,c就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）„„
2、大于2的任意偶数，2n(n＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）„„
第二章 实数
一、实数的概念及分类
1、实数的分类
2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数值，如sin60o等
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算
三、平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
3、立方根
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
四、实数大小的比较
1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则
（5）平方法：设a、b是两负实数，则
五、算术平方根有关计算（二次根式）
2、性质：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算
1、六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方
2、实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
3、运算律
第三章 位置的确定
一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念
1、平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
2、象限
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。
3、点的坐标的概念
对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
4、不同位置的点的坐标的特征
（1）各象限内点的坐标的特征
（2）坐标轴上的点的特征
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上
（3）两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上
（4）和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
（5）关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
①点P与点p’关于x轴对称
②点P与点p’关于y轴对称
③点P与点p’关于原点对称
（6）点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
三、坐标变化与图形变化的规律：
坐标（ x ， y ）的变化 | 图形的变化 |
x × a或 y × a | 被横向或纵向拉长（压缩）为原来的 a倍 |
x × a， y × a | 放大（缩小）为原来的 a倍 |
x ×（ -1）或 y ×（ -1） | 关于 y 轴或 x 轴对称 |
x ×（ -1）， y ×（ -1） | 关于原点成中心对称 |
x +a或 y+ a | 沿 x 轴或 y 轴平移 a个单位 |
x +a， y+ a | 沿 x 轴平移 a个单位，再沿 y 轴平移 a个单 |
第四章 一次函数
一、函数：
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。
三、函数的三种表示法及其优缺点
1、关系式（解析）法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。
2、列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
3、图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
四、由函数关系式画其图像的一般步骤
1、列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
2、描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
3、连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
五、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成
2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数
k的符号 | b的符号 | 函数图像 | 图像特征 |
k>0 | b>0 |
| 图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。 |
b<0 |
| 图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。 | |
K<0 | b>0 | 图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小 | |
b<0 | 图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。 | ||
注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。 |
4、正比例函数的性质
一般地，正比例函数
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地，正比例函数
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式
y=kx+b（k≠0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系 数法。
7、一次函数与一元一次方程的关系：
任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数 k≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常 数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相 同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常 数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次 函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的 横坐标值．
第五章 二元一次方程组
一、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
二、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
三、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
四、二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
五、二元一次方程组的解法
1、代入（消元）法
2、加减（消元）法
六、一次函数与二元一次方程（组）的关系
1、一次函数与二元一次方程的关系：
直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程 kx- y+b=0的解
2、一次函数与二元一次方程组的关系：
当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。
第六章 数据的分析
一、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数 、众数、中位数
二、平均数
1、平均数：一般地，对于n个数
2、加权平均数
三、众数
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
四、中位数
一般地，将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
第七章 平行线的证明
一、命题 :判断一件事情的句子。
如果一个句子没有对某一件事情做出任何判断，那么它就不是命题。每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推论出的事项。命题通常可以写成“如果。。。。。那么。。。。”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。
公认的真命题称为真理。演绎推理的过程称为证明，经历证明的真命题称为定理。
二、平行线的判定
1、平行线的判定公理
（1）两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
（2）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角.
2、平行线的性质
定理：两直线平行，同位角相等
定理：两直线平行，内错角相等
定理：两直线平行，同旁内角互补
定理：平行于同一条直线的两条直线平行
三、三角形的内角和定理
1、三角形内角和定理：三角形内角和等于180º
2、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
3、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
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