题型解析：用泰勒中值定理证明中值等式与不等式命题
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壹
相关知识点分析
● 泰勒中值定理与泰勒公式：
定理(泰勒中值定理)设函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到n+1阶导数，则对任一x∈(a,b)，至少存在介于x0与x之间的一点ξ，使得
该公式也称为带拉格朗日余项的泰勒公式. 其中ξ也可以表示成
● 带皮亚诺余项的泰勒公式：
假设函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到n阶导数，则对任一x∈(a,b)，有
此公式称为带皮亚诺余项的n阶泰勒公式.
【注】以上两个公式当x0=0时，分别称为n阶带拉格朗日余项的麦克劳林公式和带皮亚诺余项的麦克劳林公式，即有
【注】有关于泰勒多项式、泰勒中值定理、泰勒公式以及相应的麦克劳林公式详细内容以及使用过程中的注意事项，可以参见已经发布的内容“题型解析：泰勒中值定理与泰勒公式计算”(直接点击阅读).
贰
可求解题型分析
使用泰勒中值定理及公式证明题型分析：
若讨论的问题已知条件、结论中包含了一系列的函数值和（或）导数值，或涉及到二阶或二阶以上的高阶导数，则一般都可以尝试性地使用函数的泰勒公式或麦克劳林公式来探索其求解思路与过程.
叁
解题思路与步骤分析
使用泰勒中值定理求解问题的思路及使用原则分析：
第一种情况：带拉格朗日余项的泰勒公式也称为泰勒中值定理，一般用于证明已知或结论中含有二阶及二阶以上导数、函数值、自变量值等项的等式或不等式命题.
●对中值命题一般尝试性地在区间端点、中点或其他已知点展开，求端点、中点或已知点的函数值. 一般有中点已知条件的，一般首先考虑在中点展开.
●对于函数结论命题，则一般在动点展开，即在区间内任一点展开，然后求端点或中间点或其他已知点的函数值.
相应的带拉格朗日余项的泰勒公式为
其中t是讨论区间(a,b)内异于x的任一点，函数f(x)在区间(a,b)内有n+1阶导数.
【注】如果将该t取为与x相差一个常值，比如t=x+1，则可以得到纯粹的函数值与导数值之间的关系式.
在以上基础上，然后对得到的各可能的等式，进行加减等运算，消去无关项，得到可能的，应用于验证命题的结论.
第二种情况：对于计算问题，或者已知函数可导的阶数正好就是条件、结论中需要用到的函数导数阶数时，则一般使用带皮亚诺余项的泰勒公式或麦克劳林公式.
比如使用泰勒公式证明极值判定的第二判别法，即用驻点的二阶导数值判断驻点为极大值点或极小值点时；验证或计算函数极限的问题时，就使用带皮亚诺余项的泰勒公式或麦克劳林公式.
【注】在求极限时，一般首先将极限式变量的变化过程转换为x趋于0的变化过程，然后使用带皮亚诺余项的麦克劳林公式来计算.
肆
典型例题分析
例1(1999年数学二)：设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数，且
证明：在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ，使得
f’’’(ξ)=3.
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【理论依据与题型分析】
这个考题中有函数的函数值，一阶导数值，三阶导数，并且已知函数三阶可导，而证明的结论为一个中值等式，符合第一种情况的中值命题类型，所以考虑使用泰勒中值定理的结论来探索它的验证思路与方法.
【解题步骤分析】由于有中点的导数值已知条件，并且只已知了函数3阶可导，所以考虑在中点，即x0=0处写出它的两阶带拉格朗日余项的泰勒公式，在这里也即为麦克劳林公式，并且由于f’(0)=0，所以有
其中η介于0和x之间，x∈[-1,1].
已知中还有两个端点的函数值已知条件，所以使用以上公式分别计算函数值，有
由于f(0),f’’(0)为未知，所以两式相减消去，得
由于结论中要考察的就是存在一点使得三阶导函数值等于3. 该命题就等价于已知函数f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数和一个常数M，证明存在一点c∈[a,b]使得函数值f(c)=A. 这样，由闭区间上的连续函数的介值定理，只要验证M点在函数的最大值M与最小值m之间就可以了.
于是由f’’’(x)在[-1,1]上连续，所以其必定在闭区间[η1,η2]上连续，从而有
所以在[η1,η2]⊂[-1,1]上使用介值定理，可知结论成立.
【注】具体解题过程自己整理、完善.
例2(2001年数学一)设f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数，且f’’(x)≠0，试证：
(I) 对于(-1,1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0,1)，使得
成立.
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【理论依据与题型分析】
该考题牵涉到函数值、一阶、二阶导数值，可以考虑泰勒公式来解决，在只用到一阶导数的结论时，则考虑0阶泰勒公式，即拉格朗日中值定理；仅有二阶导数，则最多只能写出它的一阶带拉格朗日余项的泰勒公式，或者二阶带皮亚诺余项的泰勒公式，至于具体使用哪个，可以探索性的逐步尝试.
【解题步骤分析】(I) 由第一个结论的形式，可以直接看出，它应该就为0阶泰勒公式，即拉格朗日中值定理的结论，所以由泰勒公式，有
其中ξ介于0和x之间，x∈(-1,1)，所以ξ可以描述为
ξ=0+θ(x-0)，即ξ=θx(0<θ<1)，
其中θ随x取值的变化而变化，即有ξ=θ(x)x，所以
要证明θ(x)唯一，也即ξ唯一，即
即一阶导函数有唯一的点的值等于确定的右边项的值，这个唯一性，由已知条件二阶导数f’’(x)≠0，导函数单调可以直接得到. 所以这样就完成了第一问的证明.
【注】其中唯一性也可以使用反证法，假设有两个值等于右边项，从而推出与二阶导数非零矛盾验证.
(II)对于这样一个抽象函数，如何出现结果中的1/2？f(x)一阶麦克劳林公式，即
其中ξ介于0和x之间，x∈(-1,1). 利用第一问的结论，如果x取相同的值，则有
左边是一阶导数，右边是二阶导数.
我们强调，对于抽象函数导数问题首先考虑的是定义法，考虑导数定义的标准形式，则有
当x→0时，θ(x)x→0，ξ→0，由于二阶导数连续，因此对上式两端取极限，有
例3：设当x∈[0,2]时，
证明：对任意x∈[0,2]，有|f’(x)|≤2.
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【理论依据与题型分析】
这个习题中有函数，一阶导数，二阶导数，因此可考虑使用泰勒公式来验证；另外结论验证的是导函数有界，所以考虑的泰勒公式应该为动点展开的泰勒公式.
【解题步骤分析】由动点展开的泰勒公式，将函数f(x)在区间内任一点展开为一阶泰勒公式，则有
依据一般思路，将端点值代入，则有
用第二式减去第一式，有
由已知条件与绝对值不等式，有
由最值的计算方法，对于闭区间[0,2]上的连续函数
有唯一驻点1，由g(0)=g(2)=4，g(1)=2，可知2≤g(x)≤4，所以可得结论成立.
例4：设函数f(x)在(a,+∞)内具有二阶导数，且f(x),f’’(x)在(a,+∞)有界，证明f’(x)在(a,+∞)内有界.
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【理论依据与题型分析】
同样这个习题中有函数，一阶导数，二阶导数，因此可考虑使用泰勒公式来验证；另外结论验证的是导函数有界，所以考虑的泰勒公式应该动点展开的泰勒公式.
【解题步骤分析】由动点展开的泰勒公式，将函数f(x)在区间内任一点展开为一阶泰勒公式，则有
由于只要建立起导函数与函数、二阶导数的关系，另外由于该题中不具有明确的两个端点，所以我采取前面描述的取t与x相差一个常数，消去变量自变量符号的方法，其中最简单的取法是t-x=1，于是取t=x+1，从而有
由于f(x),f’’(x)在(a,+∞)有界，所以结论成立.
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