高数:与定积分有关的命题的证明思路与积分上限函数求导典型题
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思路一:使用介值定理证明
若问题中条件与结论中包含有闭区间上连续函数值相关的结论,可以考虑借助闭区间上的连续函数相关的定理,比如最值定理、介值定理来分析、讨论相关证明,获取相关结论.
例1【推广的积分中值定理】设f(x),g(x)在[a,b]上是连续函数,且g(x)在[a,b]上不变号。证明:至少存在一点ξ∈[a,b],使得下式成立
【证明】:据题目条件,f(x)在[a,b]上是连续函数,由闭区间上的连续函数的最值定理,可知f(x)在[a,b]上有最大值M和最小值m,即
m≤f(x)≤M.
由g(x)在[a,b]上不变号,不妨设g(x)≥0,从而有
mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x).
两端同时积分,有
(1) 若
任取ξ∈[a,b]都成立。
(2) 若
由a<b,从而有
从而有
由闭区间上的连续函数的介值定理,可知存在ξ∈[a,b]使得
即结论成立。
思路二:使用积分中值定理证明
若问题中出现定积分的值等于一函数在某点的值的等式,常先用积分中值定理处理,得到函数值相等的两个不同点,为使用罗尔定理创造条件。如果要构建使用罗尔定理的辅助函数,则可选用定积分中的被积函数。
例2【2001数学三】设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足
证明至少存在一点ξ∈(0,1),使得
【证明】:由积分中值定理,至少存在一点
使得
从而,如果令
同时有
容易验证F(x)在[ξ1,1]上满足罗尔定理的条件,即存在ξ∈(ξ1,1)⊂(0,1),使得
即结论成立。
例3设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且
证明存在ξ∈(0,2),使得f’’(ξ)=0.
【证明】:由积分中值定理,得到
在(ξ1,2)使用罗尔定理,得到f’(ξ2)=0;然后在(0,1/2)上使用罗尔定理,则有f’(ξ3)=0. 再在(ξ3, ξ2)上对f’(x)使用罗尔定理,则可得f’’(ξ)=0.
思路三:用泰勒公式证明
对于包含有二阶及二阶以上导数的问题,使用泰勒公式公式证明.
例4 设f’’(x)在[1,3]上连续,且f(2)=0。证明至少存在一点ξ∈(1,3),使得
【证明】:将f(x)在x=2作一阶泰勒公式,有
注意η在2和x之间,是与x有关的变量。
利用推广的积分中值定理(例1)得到
在泰勒公式两端积分,利用
于是有
思路四:引入变限积分证明
积分上限函数的构造,一种是将讨论的函数表达式当做被积函数构造积分上限函数,借助题意中的积分条件构造验证问题;第二种是直接令积分的一个上限或者下限为变量,构造辅助函数.
例5 设函数f(x)在[0,1]上连续,且
证明存在一点ξ,使得
【证明】:将ξ换成x,则有
引入变限积分函数,有
从而归结证明存在ξ∈(0,1),使得
为此验证F(x)满足罗尔定理条件,显然有F(0)=0,由条件有
所以使用罗尔定理,得结论成立.
例6【2000年数学三】设函数f(x)在[0,π]上连续,且
证明在(0,π)上至少存在两个不同的点ξ1, ξ2,使得
f(ξ1)=f(ξ2).
【证明】:令积分上限函数为
则F’(x)=f(x). 这样,问题只需证明存在ξ1, ξ2,使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0.
为此需要找出F(x)的三个零点。事实上有
F(0)=0,F(π)=0.
又因为
则必存在ξ∈(0,π),使得F(ξ)sinξ=0;否则F(x)sinx恒为正或者恒为负,与上式结论矛盾.
又因为ξ∈(0,π),则sinξ不为零,所以必有F(ξ)=0。于是在[0,ξ],[ξ,π]使用罗尔定理有结论成立.
例7设函数f(x)在[0,1]上连续,且
证明在(0,1)上至少存在一点ξ,使得
【证明】:由已知条件
构造辅助函数
则有F(0)=F(1)=0,且有
从而使用罗尔定理可得结论成立.
积分上限函数求导数问题求解思路:
对于积分上限函数,如课件第一张幻灯片,对于不符合标准类型的积分上限函数求导(左边三个都为标准类型,即被积表达式中不含有求导变量x的类型,它们求导直接代入x即可),必须先将于积分变量无关的项提出到积分符号外面来,然后利用求导乘积运算法则求导,比如右边最下面一个;对于不能提出来转换为标准积分上限函数的基本,则采取换元法,转换为标准形式来做,比如右边上面两个,第一个令u=xt,第二个令u=x-t,这样再转换为其余四个类型来求导计算!
参考课件,内容结合老师课堂讲授理解:
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