典型习题：(110214)分段函数与二重积分对区域的可加性

Original xwmath 考研竞赛数学 2023-04-02

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习题解答

相关小结

“分段函数与二重积分对区域的可加性”题型的求解思路以及相关的知识点：

1．解题思路与注意事项

(1) 借助二重积分对积分区域的可加性，根据被积函数表达式的特征，通过分割区域的方式，将一些特殊的被积函数转换为普通二元函数描述形式。

(2) 通过分析积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，灵活运用二重积分的“偶倍奇零”计算性质简化了二重积分计算。

(3) 在具体的二重积分转换为累次积分表达式执行计算时，积分次序的确定不仅仅考察积分区域的类型，也应该考虑被积函数的特征，两种共同确定合适的计算次序。

2. 利用二重积分的性质简化计算

(偶倍奇零)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续.

●如果D关于x轴对称，记其x轴上方区域为D₁，则有

●如果D关于y轴对称，记其y轴右侧区域为D₁，则有

●如果积分区域D关于原点对称，f(x,y)为x,y的奇偶函数，则二重积分

其中D₁为D的上半部分．

【注】以上性质就是“偶倍奇零”的计算性质，注意使用时，积分区域的对称性与被积函数的奇偶性之间要匹配。即积分区域关于x轴对称，被积函数关于y变量有奇偶性；积分区域关于y轴对称，被积函数关于x变量有奇偶性，则积分偶倍奇零。

(轮换对称性)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，积分区域关于直线y=x轴对称，则有

3、二重积分的换元法

设二元函数f(x,y)在xOy面上的闭区域D_xy上连续，一对一的变换

T:x=x(u,v)，y=y(u,v)

将uOv面上的闭区域D_uv变换到D_xy，且满足

(1) x(u,v)，y(u,v)在D_uv上有一阶连续偏导数；

(2) 在D_uv上雅可比行列式则有

【注】二重积分的极坐标计算公式换元法的一个结果，即令x=ρcosθ,y=ρsinθ，则有J=ρ，所以有

关于二重积分直角坐标、极坐标和换元法的计算思路、步骤可以参见如下的推文：

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