典型习题：(110215012)绝对值函数的二重积分——基于对称性的直角坐标计算方法

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习题解答

相关小结

“绝对值函数的二重积分”题型的求解思路以及相关的知识点：

1．绝对值函数取绝对值符号的思路

将被积绝对值函数的绝对值符号去掉，描述为分段函数的表达式，然后借助于积分对区域的可加性，将积分拆分成子区域上的积分来完成计算。

即通过对被积函数的实际定义域（即积分区域）的分割，将定义区域分割成让绝对值里面的函数大于0和小于0的两部分；然后根据函数值的正负性，将绝对值函数描述为一般初等函数表达式。

一元绝对值函数定义区间的分割点为令绝对值符号里面的函数等于0，解方程得到的解；

二元绝对值函数平面定义区域的分割线为让绝对值里面的函数等于0所对应的方程所描述的曲线；

三元绝对值函数空间定义区域的分割面，即使得绝对值里面的函数等于0所对应的方程所描述的曲线。

2．二重积分计算的一般思路与方法

(1) 画域图；

(2) 对称性和奇偶性分析：在直角坐标系下，分析积分区域图形整体，或分割后的部分的对称性和分析被积函数整体，或经过加减拆项后的函数的奇偶性，如果对于对称区域上有相匹配的被积函数的奇偶性，则可以借助“偶倍奇零”计算性质简化性质。如果积分区域关于y=x对称，则考虑使用“轮换对称性”简化计算。

(3) 确定构建累次积分的坐标系类型：如果积分区域为圆弧、直线等为边界曲线构成的区域，或者被积函数是含有x²+y²,y/x,x/y描述的表达式，或者积分区域在极坐标系中可直接描述为简单类型，则考虑使用极坐标方法计算；否则可以直接选择直角坐标计算。

(4) 确定积分区域类型：在选定的坐标系中，从被积函数（是否可积）和积分区域（分割要少）两个方向出发，确定所考虑的简单区域类型；如直角坐标系下的简单X-型、简单Y-型；极坐标系下的简单θ-型、简单ρ-型。如果不匹配对应类型，则将积分区域分割成几个简单区域的并。

(5) 确定型变量的范围：直角坐标系，直接投影到类型名称变量所对应的轴上，获取形变量范围；极坐标中，确定θ的范围为逆时钟旋转极轴方法确定；确定ρ的范围通过作以极点为原点，半径从0逐渐增大的同心圆的方式获取。

(6) 确定余变量的范围：即首先积分的变量范围。分别在型变量范围内取值，它所对应的曲线穿过区域，入点所在曲线的关于型变量的函数表达式为下限，出点所在曲线的关于型变量的函数表达式为上限，获取余变量的范围。相应曲线穿过区域的方向为变量增大的方向。在确定余变量范围前，首先需要将边界曲线描述为型变量的函数表达式。

(7) 写出二重积分的累次积分表达式：根据以上步骤，可以直接写出各简单积分区域的不等式描述形式，从而也就可以得到二重积分相应积分变量的累次积分表达式。

(8) 计算累次积分，完成计算过程。

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关于二重积分直角坐标、极坐标和换元法的计算思路、步骤可以参见如下的推文：

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