《数列极限敛散性判定与计算》内容小结、典型题与参考课件

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1、数列极限的四则运算法则

(1) 特别注意参与运算的数列要求极限都存在

(2) 作为分母的数列的项和极限值都不能等于零

(3) 乘以一个非零常数不改变数列的敛散性

(4) 参与运算的项为有限项

2、子数列

子数列是从原数列中选取无穷多项，并按原来的先后顺序组成新的数列．

(1) 原数列收敛，则它的任何子数列都收敛，并且极限值相同.

(2) 数列存在一个发散子数列，则数列发散.

(3) 数列存在两个收敛于不同极限值的子数列，则数列发散.

(4) 拉链定理：数列收敛的充要条件是它的奇数项构成的子数列{a_2n-1}与偶数项构成的子数列{a_2n}两个子数列收敛且极限相同。（此结论可以推广到连续的多项：

如{a_3n}，{a_3n+1}，{a_3n+2}）

3、夹逼定理

(1) x_n≤a_n≤y_n(n=N,N+1,…，即某一项之后满足)，

(2) 数列{x_n}和{y_n}收敛到相同极限，

则数列{a_n}收敛且三个数列的极限值相等．

4、单调有界原理

单调有界数列必有极限（单调递增有上界，单调递减有下界）

【注】不需要严格单调，单调有界原理仅仅用于判定数列极限的存在性.

5、一个重要极限

6、判定、验证递推数列存在极限并求极限值的常用思路：

(1)基于单调有界原理判定极限存在，对递推关系式两端取极限求得极限值；单调性的判定常用比值法、差值法、数学归纳法或函数的单调性；有界性的判定常用基本不等式或数学归纳法等。

(2)基于夹逼定理的定义法。即先假设极限存在，基于递推关系式计算极限值，然后基于递推关系式，极限的定义，借助夹逼定理验证所求极限值即为数列的极限。即基于夹逼定理与数列的有界性（下界或上界），借助递推关系式，包括计算得到的极限值满足的等式关系，对|a_n-a|进行放大处理，得 

即验证假设成立。

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