递推数列存在极限的证明与极限值求解思路与典型题分析(四):通项公式法与数学软件验证法
【注】公式显示不全时,在公式上左右滑动显示
递推数列极限存在的证明与极限值的求解的通项公式法,就是借助递推数列的递推关系式推导得到递推数列的一般通项公式,然后通过通项公式验证极限的存在性和求得极限值。
比如,由递推关系式确定的数列
借助递推关系式,设法消去其中的或,仅保留,且将表示为的函数,然后再验证的极限存在性和求它的极限。
一般借助递推关系式寻求数列通项公式不是一件简单的事情,甚至有些根本无法用初等函数描述其项的变化规律;其中比较简单的,通常采用的方法为:
(1) 由递推关系式向前或向后推导,得到通项公式;
(2) 通过有限项观察规律,寻求可能通项表达式,并借助数学归纳法验证结论。
(3) 差分方程的方法. 具体可以参见专题:专题(15):《差分方程》基本概念、线性差分方程求解思路与历届考研真题分析
另外也经常考虑使用矩阵的方法来求递推数列的通项公式. 下面我们就前面的两种思路分析两个例子,体会具体的求解步骤与过程:
例1:判定数列的极限是否存在,如果存在求它的极限值,其中数列由如下关系式确定:
【分析】:(向前推导) 由该数列的递推关系式,采用向前推导的方法,有
显然,等式右边的数列通项公式当极限存在,并且极限值等于2.
(向后推导) 由递推关系式,可得
猜想当时:
则当时,有
所以
【注】:通过验证该数列的项的有界性,比如可以验证,则既可以使用单调有界准则验证极限的存在性,也可以使用夹逼定理(定义法)来验证其极限的存在性。
例2:验证数列
逼近方程在附近的根。
对于这个数列的通项公式,可能稍微麻烦一点,我们也尝试使用上面的两种方法来探索它可能的通项公式。
(向前推导) 由递推公式,有
仔细考察后面部分的表达式,发现一个有意思的规律:分子、分母的系数及常数依次都为斐波拉契数列的项。如果我们把通常的斐波拉契数列向前推两项,即:
这样,后面部分的表达式可以写成
则容易推到得到的通项公式
由于
所以上式的极限存在,并且也就等于
(向后推导) 为了便于观察规律,令,于是
观察项特征:分子、分母的常数以及相应的系数都依次为1,1,2,3,5,8,13,….也就为斐波那契数列的项。依据这个规律,容易得到
得到与上面完全一样的通项公式。借助于
可以验证该通项公式满足递推关系式
【数学实验】
对于这个例题的递推关系,可以借助Mathematica数学软件来推导。另外对于具有初值和递推关系的数列,也可以直接通过RSolve命令求递推数列的通项(可求的前提下),然后直接求极限。比如这两个例题的Mathematica表达式及计算结果如下:
例1:Mathematica表达式及执行结果:
例2:Mathematica表达式及执行结果:
同时可以验证,这样得到的通项公式与我们上面推导得到通项公式是完全一样的。
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