第05讲:数列极限的概念与基本性质内容小结、课件与典型例题与练习
一、常用的与数列相关的公式
1、先求和再求极限(1)自然数求和公式:
(2)自然数平方求和公式:
(3)自然数立方求和公式:
(4)等差数列 前项求和公式:
(5)等比数列 前项求和公式:
(6)二项式展开公式:
其中为二项式系数,也记作.
2、拆项相消法
3、基本不等式结论
(1) 几何-算术平均值不等式
设是个非负实数, 则
且等号成立当且仅当.
(2) 三角不等式
(3) 柯西不等式
对任意实数和,都有
等号成立当且仅当或存在常数,使得.
(4) 两个与对数、自然常数、阶乘相关的不等式
4、常用数列极限结论
二、数列极限定义的等价描述形式
定义1: ⇔ ,,当时,恒有成立.
定义2: ⇔ ,,,成立.
定义3: ⇔ ,,,成立 .
定义4: ⇔ ,,,成立,其中是一个与和都无关的正的常数.
【注】以上定价描述只要能推得其中一个即得另外其他描述,也即说明数列极限存在且等于取定的常数值. 其中的可以改成,此时应保证所取的为正整数.
三、关于数列极限定义的有关注意事项
【注1】:只要四个定义右边的任意一种描述成立,就可以直接得到数列收敛的结论成立;同样,如果数列收敛于,则可以写出右边四种等价描述形式,针对不同的问题,选用不同的描述形式帮助求解或验证问题.
【注2】:由于定义中的是用来度量数列与极限值的逼近程度的,所以可小不可大,对于它的取法,在使用定义证明极限时,可以假定其小于某个正数,比如小于1内取值;对于可大不可小,取法不唯一. 如果满足条件,则(为任意正整数)都可以取为定义中的值. 因此,的取值与有关,但并不是的函数.
【注3】:特别注意,在没有特别说明的情况下,关于求极限,约定成俗,都是指的是求数列的极限. 即默认情况下,都是指非负整数.
四、利用极限定义证明的步骤与方法
用数列极限定义证明数列收敛于的:
关键:对于任取的,找到一个符合定义中的;
方法:适当放大不等式;
基本步骤:一般概括为如下四步:
第一步:任取,可以根据后面不等式放大的需要假设它小于某个正的定值.
第二步:借助适当放大法放大、简化为. 其中放大的方法主要基于题设从原绝对值里面的式子出发,当然也可以借助于一些基本不等式来进行放大,目标都是尽可能通过放大简化绝对值里面的关系式,使得第三步求解不等式时变得非常简单.
第三步:解关于变量的不等式,得. 如果不能得到这样的结果,则需要重新改写原绝对值不等式,或证明极限不为取定的常数.
第四步:取或(保证为正值)描述结论:即任取,取,则当时,有恒成立,所以数列收敛于.
【注】:在放大不等式的过程中,可能也对的取值有一定的限制,比如必须大于时放大不等式才成立. 这个时候,最后的应该取为.
有关于数列极限相关问题的注意事项也可以参见推文:
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