通过一个简单例子，通俗讲下协方差分析

内容来自：“小白学统计”微信公众号，感谢作者授权。

临床中经常碰到这种设计：研究对象分为两组，接受不同治疗（如治疗组和安慰组），每组分别在治疗前和治疗后测量观察指标（如血压值）。目的是比较两种治疗方式是否有差异。这种情况你会怎么处理呢？

我看过不少国内的文章，他们的做法有这么几种：（1）直接比较治疗后的两组指标，如血压值，用t检验比较；（2）先比较治疗前两组的差异，证明无统计学意义，然后再比较治疗后两组的差异；（3）先比较试验组治疗前和治疗后差异，再比较对照组治疗前和治疗后差异，如果试验组治疗后和治疗前差异更大，说明试验组更有效。

第一种做法是肯定有问题的，因为它根本不考虑两组在疗前的差异。为什么有问题呢？比方说，下面这个简单的例子：

有甲乙丙3个学生，期末考试成绩分别为90、85、80，如果让你判断，你觉得哪个学生更优秀一些（只考虑成绩）？当然了，你可以毫不犹豫地说，甲最优秀，因为成绩最高。但确实如此吗？

再给你一组数据，甲乙丙3个人的刚入学时的成绩，分别是95、85、60。这时候再让你说，谁更优秀呢？我想，你可能要犹豫一下了。虽然甲的期末成绩最高，但是相比入学成绩而言，他是下降了。丙的期末成绩最低，可是相对入学成绩而言，他上升了很多。作为一个老师，也许他不会说，甲最优秀，而会说，丙最优秀。因为成绩上升很快。

所以，很明显，我们是不应该只看治疗后两组差异的，这说明不了什么问题。

第二种做法，相对好一些，起码通过统计学方法说明两组治疗前无统计学差异。但是，统计学差异有时未必可靠，跟例数有关的，如果例数少的话，即使两组治疗前差别较大，也是无统计学差异。所以，也不是很好。

第三种做法，听起来似乎也有理，但仔细想想。试验组的治疗后和治疗前差异比对照组的大，是反映了一种真实情况吗？还是需要有统计学来证实的。比如，试验组的血压值治疗后与治疗前相比，降低了2mmHg，对照组降低了1.8mmHg，仅从数字来看，试验组降低更多，但有意义吗？很难说。

比较两组差异的正确做法

真正想说明两组差异的话，比较好的做法有两种：

（1）采用倍差法，具体是：两组分别求出服药后和服药前的血压值差值，这样就变成了两组差值的比较，可采用t检验或方差分析。由于做了两次差值，所以叫倍差法。

（2）采用协方差分析，比较两组治疗后的血压值，但是以服药前血压值作为协变量，校正其影响。实际上是比较两组校正的服药后血压值。

第一种方法很简单，只是一种思路而已，仍然是t检验或方差分析。这里就不多说。第二种方法是协方差分析，本文主要介绍一下。

协方差分析的思想大概就是：把治疗前两组的数值作为一个协变量，比较两组治疗后差异的时候，校正这一协变量。这样可以得到校正后的两组治疗后均值，比较两组的校正均值。比如说，a和b两组治疗后均值分别为62和56，但是如果校正治疗前后，很可能就变成了59和59，这样比较两个校正均值59和59，两组就没有统计学差异了。

如果要做协方差分析，起码要有2个条件：

（1）两组疗前有差异。这很好理解，如果两组在治疗前无差异的话，就没必要考虑治疗前情况了，直接比较治疗后就好了。

（2）治疗前结果会对治疗后结果有影响。这也不难理解。如果治疗前的值根本不会影响到治疗后的值，那两组在治疗前有没有差异就无所谓了。对于多数研究来说，这一条件一般都会满足。比如治疗前高血压肯定会影响治疗后高血压，治疗前抑郁得分通常也跟治疗后抑郁得分有关，治疗前高的通常治疗后也会高，治疗前低的，通常治疗后也会低。实际上，这两个条件也就是混杂因素的条件。所以，其实说白了，协方差分析也就是校正混杂因素。

实例解析

通过一个简单例子，说一下协方差分析的过程。

假定要比较两组的的指标情况，分别观察了用药前和用药后指标值。如果不考虑用药前情况，直接采用t检验比较两组用药后数据，结果如下：

两组差值为4.36， P=0.106。

如果考虑到治疗前情况，采用协方差分析，比较治疗后，校正治疗前，这时候结果如下：

这一结果中，group行表示两组差值，此时两组差值变为2.82，比上面的4.36变小了，所以导致P值变大了很多，变成了0.2007，基本上增大了一倍。

虽然，两种做法的P值都大于0.05，但是可想而知，如果不考虑疗前的情况，很容易得到一个小的P值，从而导致假阳性的增加。

为什么会这样呢？其实仔细看看两组疗前的数值就明白了。两组治疗前的数值是这样：

不难看出，a组（第一行）基线就偏高，b组（第二行）基线偏低。也就是说，一开始a组就偏高，那么理论上来说，治疗后a组本来就应该高于b组。也就是说，治疗后两组差值（4.36）这么大，并不仅仅是两组药物导致的差异，而且含了两组基线不同造成的的差异（仔细体会一下这句话）。

一旦校正了基线水平，就相当于把两组基线不同所造成的差异给去掉了，只剩下了两种药物所造成的差异了，当然两组的差值就变小了。

对于本例而言，校正了基线后，两组的校正均值（最小二乘均值）为：

可以看出，校正疗前值后，疗后两组均值不是55.39和51.03，而是54.62和51.80。差距明显缩小了。

所以，如果要比较的两组都有治疗前后数据，如果治疗前不是那么均衡的话，最好采用协方差分析校正一下。

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