“无穷∞”烦恼带来的数学危机 02

本系列文章预计会有10个章节，这套文献将系统的讲述物理学本身，今天是第二季第2篇。

此”无穷“的指的是一个数学概念，即无穷大和无穷小。

今天阐述这个概念是为了给大家科普一段历史上有名的危机，即"第二次数学危机"。你可能会问我们的主题虽然是物理为什么要讲数学呢？

原因有二，其一、物理知识必须要有数学支撑，同时，这段科普可以让我们重新学习数学概念的由来，不仅对你了解数学有用，同时也会让你明白有故事的数学才会更深刻；其二，从古希腊开始物理与数学都属于自然科学，不分彼此，而现代社会分工明确，所以讲数学与物理分开了。

好吧，我们开启今天的旅程，去到一个无穷的世界！

无穷，在现代数学中地位是非常重要的，比如极限与微积分，同时在计算机领域可以扩展到算法导论，这一块具体讲算法再谈。

上一讲我们提到芝诺悖论的争论引发了人类史上三条线索的斗争，即哲学、数学、物理！

从哲学角度，人们对无穷和无限这个问题的研究贯穿整个数学发展史，直到19世纪集合论画上句号。

从数学角度，后来的微积分完美地解决了芝诺悖论。

从物理上，量子力学的出现，人们才知道世界并不是连续的，而是离散的。

其实追溯到古希腊时代，人们是不承认“无限”和“无穷”，毕竟那个时代属于大哲学家毕达哥拉斯的天下，毕达哥拉斯认为有限是善，无限是恶，万物皆数，万事归圆。什么无穷啊、无理数的统统都被他拉下深渊，置之不理。

曾经毕达哥拉斯定理的学生提出对根号2 ，这个”毒物“存在的事实，但是毕达哥拉斯并没有勇敢的面对这个问题，而是永远的隐藏了起来。

虽然当时蒙混过关了，但是科学永远会在时间的历史长河中慢慢显露头角。而无穷这个问题也让微积分的发现耗费了1700多年的时间。

01 细谈“第一次数学危机”

毕达哥拉斯提出的“万物皆数”的观点，既是错的，又是对的！

说它是错的，是因为数是概念，不是实体，是物的数量特征在人的头脑中反映为数，而不是客观存在的数转化为物质实体。毕达哥拉斯把客观世界中的事物关系弄反了。

说它是对的，是因为这个错误的背后是人类认识上的一次飞跃，“万物皆数”使人类认识到数量关系在宇宙中的重要性。而“万物皆数”观点的破灭，同样是一个错误，错误在于，认为数不足以表达万事万物了。

这个错误又是由于一个大的进步引起的，即无理数的发现。人们发现了无理数，又不敢承认它是数，这就是第一次数学危机。

在希腊人的世界中，音乐、数学、哲学都具有对等的重要性。毕达哥拉斯学派认为，数字比率支配着音乐和弦定律，乃至整个宇宙。

这成为毕达哥拉斯学派的固有观念，是他们的世界观的基石。所以，希腊学者坚信整个宇宙都是根据来自分数的音乐谐声规律构建的。因此，有理数支配着希腊人的世界观。我们知道，“有理数”指的是所有能表示成整数或两个整数之比的数（也就是分数）。

从音乐中的音符角度不难理解，古希腊人为什么这么执着了。

可是，总会有一些“傻子”会提出一些改变世界问题：边长为1的正方形对角线长度是多少呢？这是一个既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。这个发现导致了数学史上第一个无理数“√2”的诞生。

这个简单的数学事实的发现直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰和思维范式，冲击了当时希腊人持有的“一切量都可以用有理数表示”的信念，在当时导致人们认识上的危机，从而引发了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

02 “第一次数学危机”改变了人类的认知

代数有代数的伟大，几何又有几何的伟大，几何野在某种程度上也在当时的时代绽放着璀璨的光斑。

既然这个时候所谓的数学解决不了这个问题，那是不是可以通过几何去寻找答案呢？还真是，当时没过多久，人们通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。

约在公元前370年，柏拉图的学生攸多克萨斯（Eudoxus）纯粹用公理化方法创立了新的比例理论，微妙地处理了可公度和不可公度。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段可通约，否则称为不可通约。只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓数学危机也就不复存在了。

从此，古希腊人把几何看成了全部数学的基础，把数的研究隶属于形的研究，割裂了它们之间的密切关系。

无理数的发现标志着数学和几何第一次真正分道扬镳。第一次数学危机表明几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。

整数的尊崇地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。这同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此，希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，由此建立几何学体系。

03 欧几里得

公元前4世纪和公元前3世纪，生活在亚历山大里亚的几何学教师欧几里得，把亚里士多德发明的形式逻辑三段论和几何学结合起来，用形式逻辑的方法把前人的成果总结成一个体系，写成了一本书，叫《几何原本》。

其中《几何原本》的公理部分说明，我已在第一季有描述，点击链接直达。

欧几里得建立了一个公理化的体系，以公理作为基础。这套公理化的方法也被希腊的科学家用到了对自然的研究上，最后在力学和天文学里取得了突出的成就。

欧几里得几何成为精确演绎的典范。这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物。这样做的最大不幸是，放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，基本理论十分薄弱。这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年。

总结

知识使人自由，完备的知识体系更是让人犹如夜空中滑翔群星一样夺目，永生难忘。

人们常说，读任何原著都需要置身在当时的环境背景中去体会，我想如果我们是毕达哥拉斯的学生，可能和他们一样固执的认为“万物皆数”。

庄子曰：“夏虫不可以语冰者，笃于时也。”人也一样，要是我们没有经历过这慢慢长夜中没有前人的思考，也不会有我们此刻的辉煌。

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