勾股定理——数学线索的起源 04
本系列文章预计会有20个章节，这套文献将系统讲述数学本身，这里是第一季第4篇
大家好，我是科学羊🐏
接上篇...
“哲学”（φιλοσοφια）和“数学”（μαθηματιχα）这两个词本身就是毕达哥拉斯创造的，前者的意思是“智力爱好”，后者的意思是“可以学到的知识”。
今天我们谈谈毕达哥拉斯。
说起毕达哥拉斯学过数学的人想必一定都知道吧，毕竟世人都知道那个伟大的毕达哥拉斯定理也就是我们常说的勾股定理了。毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年—约公元前500年）是古希腊著名的数学家和知识的集大成者。
所谓勾股定理，指的是直角三角形两条直角边的平方之和等于斜边的平方，即 c² = a² + b²。
从数学角度讲，这个定理实在是太伟大了！
可以说如果没有毕达哥拉斯定理，可能整个数学的大厦将不复存在，更不要说工程学了。
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说实话，在我上中学的时候老师真没有给我们普及过毕达哥拉斯是谁，我印象中勾三股四弦五不是中国人发明的吗?
勾股定理是谁发现了？
后来我弄明白了这个这个问题...
根据汉朝的数学书《周髀算经》的记载，早在公元前1000年的时候，周公和商高这两个人就谈到了“勾三股四弦五”。
商高曰：“数之法，出于圆方。圆出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之外，半其一矩。环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。
他们的年代比毕达哥拉斯早，因此教科书中讲是中国人商高最早提出这个定理的，于是称之为勾股定理或者商高定理。
其实《周髀算经》里所记载是否靠谱我们不知道，就算是靠谱，它也只是记载了一组勾股数（即直角三角形直角边和斜边都是整数的情况），并不能说明发现了其中的规律。
因为比周公和商高早1500年，古埃及人在建造大金字塔时就已经按照勾股数在设计墓室的尺寸了。
其实从这里我们完全有证据说，你看，我们的祖先早就发现了勾股定理了。
NO，想多了，我们继续往下看！还有比我们更早的呢。
也就是说，你找到规律从数学角度并不能说是你证明了。
早在公元前18世纪左右，美索不达米亚人就知道很多组的勾股数（包括勾三股四弦五），而且留下了实物证据。比如耶鲁大学的博物馆里就保存了一块记满勾股数的泥板。
那么，古埃及和美索不达米亚为什么不去争夺这个勾股定理的发现权呢？
因为不满足数学的逻辑。
简单地讲，他们只是举出了一些特例而已，甚至都没有提出假说。
因为光举例子还是不够的，还需要做出一个明确的规律性的描述，这种描述我们可以把它称为命题。
一个命题在没有证明之前，只能算是猜想，比如著名的哥德巴赫猜想。而总结出一个猜想和证明定理依然是两回事。
所以就上述文明就猜想都没有，更不用说证明了，相反，毕达哥拉斯是详细证明了这个定理！
毕达哥拉斯的伟大壮举
毕达哥拉斯胸像，现藏于罗马卡比托利欧博物馆
毕达哥拉斯（公元前569? —前500?）这位半神秘的身影，神秘主义者、数学家、竭尽了全力的大自然的研究者，“他十分之一是天才，十分之九是纯粹的呓语者”。他的生活已成为一个神话，充满了种种令人难以置信的传说。
他有2个伟大的创举。
第一个伟大创举：坚持在发展几何时须首先制定“公理”，或称“公设”，其后的全部发展将通过严密的、导向公理的演绎推理来进行。
第二个伟大创举：发现了普通的整数1,2,3, …，这个发现甚至对于构造他所知道的数学的初级阶段也是不够的，这使他遭到屈辱和失败。
在作出这个重大发现之前，他曾经像一个富有灵感的先知那样宣称：整个自然界，实际上整个宇宙，物质的、形而上学的、精神的、道义的、数学的一切，都是建立在正整数1,2,3, …的离散模式之上的，只能按照上帝给予的这些砖块来说明它们。
他确实宣称过，上帝就是“数”。这里的数，他指的是普通整数。
这无疑是一个卓越的概念，简单而美妙，但它如同柏拉图等人的类似说法那样无用：柏拉图——“上帝乃几何学家”；雅可比——“上帝乃算术学家”；或金斯——“宇宙的建造者现在开始以数学家的形象出现”。
这个顽固的数学矛盾毁坏了毕达哥拉斯的离散哲学、数学和形而上学。但与他的一些后继者不同，他在力图遏制败坏了他信念的发现而未获成功之后，最终接受了失败。
而打垮了他的理论的是：不可能找到两个整数，使其中一个的平方等于另一个数的平方的两倍，即无理数的出现。
数学的命题
接下来，我们回到刚才的第一个问题身上，为什么勾股定理一定要被授予毕达哥拉斯？
吴军老师在《数学通史讲义》提到要清晰这个问题首先要搞明白三个问题。
即测量和逻辑推理的区别、用事实证实和用逻辑证明的区别、以及科学结论相对性和数学结论绝对性的区别。
测量和逻辑推理的区别
几何学和占星术都起源于古埃及，当地人出于对农业生产的考虑，以及对天文和土地进行度量。但是这个数学本身还差很远呢！
比如说，古代文明的人们确实观察到勾股数的现象，他们画一个直角三角形，勾三尺长、股四尺长时，弦长恰好就是五尺长，于是就有了勾三股四弦五的说法。
但是这里面存在一个大问题，我们说长度是三尺，其实并非数学上准确的长度，用尺子量出来的3，可能是3.01，也可能是2.99。这样一来勾三股四弦五就是一个比较模糊的说法了。
比如下图：
图中左上方有一个8x8的方格，它的面积是64。
我按照图中所示的粗线将它剪成四部分，两黄两灰，再重新组合，就得到了一个13x5的长方形，它的面积是65。
请问面积是64的正方形怎么重新组合一下面积就多出1，变成65了呢？
64≠65，那么问题在哪儿呢？其实，问题就出在拼接时，它们并不是严丝合缝的，只不过缝隙较小，大部分人看不出来罢了。
在数学上，观察的经验可以给我们启发，但是它不能成为我们得到数学结论的依据，数学上的结论只能从定义和公理出发，使用逻辑严格证明得到，不能通过经验总结出来。
那么，如果我们抛开误差的影响，是否可以认为早期文明的人们发现了勾股定理呢？也不能，只能说他们观察到一些现象，而非发现了定理。这涉及到数学和自然科学的第二个主要区别，证实和证明的区别了。
事实证实和用逻辑证明的区别
数学理论必须要证明，保证没有例外。比如，你说在物理世界，当温度达到一定的极限，可能电子仪器就失灵了，但是数学世界是不允许的。
数学结论相对性和数学结论绝对性的区别
为什么数学要那么严格，它的定理为什么不能有任何例外，更不能特殊情况特殊处理呢？因为数学上的每一个定理都是一块基石，后人需要在此基础上往前走，试图建立一块新的基石，然后数学的大厦就一点点建成了。
在这个过程中不能有丝毫的缺陷，一旦有，整个数学大厦就轰然倒塌了。
有了一个个的定理，数学就得以建立起来，而且这个建立在逻辑推理基础上的大厦很坚固。
好，今天就先这样~
Masir 2023/11/17
祝幸福~
参考文献：
[1].https://www.dedao.cn/course/article?id=xzYo2GPNq4W8VEbbjmJejyRBZbnw0d
[2].《数学通史讲义》*吴军
[3].《数学简史》
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