他只活了21岁，但他死去24年后人们才知道他的伟大！他就是数学群论的创始人

大家好，我是科学羊🐏，今天继续数学专栏第27篇。

“我的时间不够用了！” —— 伽罗瓦

今天这篇我们主要继续谈谈天才数学家伽罗瓦的生平和他的群论，如果昨天那篇还不足以真正了解伽罗瓦的厉害，那么今天这篇我们再深入了解下这个人以及他的厉害。

顺便简单谈谈他的“群论”。

01 伽罗瓦的奇特一生

埃瓦里斯特·伽罗瓦的自画像

埃瓦里斯特·伽罗瓦，这位传奇数学家的一生，虽然只有短暂的21年，却在数学史上留下了不可磨灭的印记。

1811年出生，1832年逝世的伽罗瓦，是群论这一近代数学重要分支的奠基人，他的故事充满了智慧、叛逆和悲剧。

听说，伽罗瓦属于智商极高的人，而且这种人非常难培养，伽罗瓦拥有超凡的智力，但有时候上帝是公平的，这种天赋在他的时代反而成了负担。

吴军老师讲了一个这样的比喻：

假设普通人的智商为100，那么智商只有50的人在我们看来可能会显得迟钝。同理，智商高达160的天才在看待我们时，也可能觉得我们的想法和行为愚蠢。

而伽罗瓦正是这样的天才。

在学校，伽罗瓦被评价为“奇特、怪异、有原创力却封闭”。

他11岁时就对学校的教育感到厌烦，因为他觉得课程太过简单。

幸运的是，14岁那年他爱上了数学，并开始疯狂地学习，15岁时已能独立阅读数学巨匠拉格朗日的原著，其他学科自然就显得无足轻重了。

伽罗瓦的大学求学之路并不顺畅。他两次试图进入著名的巴黎综合理工大学，均以失败告终，部分原因是他对考试的轻视态度。有传言称，他曾因觉得考官的题目过于简单，而将擦黑板的抹布扔向考官。

尽管如此，他最终被巴黎高师录取，这是一所在基础数学研究领域享有盛誉的学府。

在巴黎高师，伽罗瓦的才华开始得到认可，老师们评价他虽然想法古怪，却十分聪明，并且显示出非凡的学术精神。

他在大学期间就已经完成了起始的重要数学成果。

17岁那年，他发表了第一篇数学论文，并将两篇重要论文寄给了大数学家柯西，但不幸的是，这些论文并未得到重视。

伽罗瓦的人生也充满了国事冒险。他积极参与了1830年的七月事件，因此两次入狱，甚至一度试图自杀。

关于他的不幸逝世，普遍的说法是死于决斗。据说，在决斗的前夜，他焦急地记录下了自己所有的数学成果，希望能保存下这些宝贵的思想。

伽罗瓦去世后十几年，法国数学家刘维尔发现了他的独创性工作，并在1846年将其发表。

伽罗瓦因此被认定为群论的创始人，他的理论成为了现代代数、数论和计算机科学的基石之一。

又过了10年，群论思想飞速发展，那个时候法国和德国大部分大学里，数学专业已经开始教授伽罗瓦群论的知识了。

而这个时候，法国政治局势也初步稳定了。可是那一年，伽罗瓦已经去世24年了。

这里再补充点伽罗瓦死前的一些不寻常行为。

史学家分析，因为生活背景已经备受折磨的伽罗瓦自己应该当时也知道这种困境，但为情所困不能从中摆脱。

在1832年5月28日，他接到了一封挑战书，是以情敌的口吻来邀请伽罗瓦和他枪战的。

伽罗瓦意识到自己时日无多，抓紧了5月28、29、30号这3天的时间，把自己关于群论的内容完善了出来。保留的稿件空白处，还经常能看到“我的时间不够用了！！”这样的短语。

30号晚上，他又写了3封遗书，其中2封留给他的共和党人，还有1封是关于群论的，留给了他的好朋友奥古斯特。

02 群论的智慧

群论是一个非常有力的工具，利用这个工具，我们可以直接证明三大古典数学难题无解。

此外，它还可以证明几个今天在数学上被称为常识的结论，比如：

• 5次及其5次以上的方程式没有解析解，而4次以下的一定有解析解。

• 什么样的正多边形可以用直尺或者圆规来做出来，而什么样的又不能。

另外，怀尔斯在复证费马大定理的时候，也用到了伽罗瓦理论。

接下来我们来谈谈群论。

“群”（group）这个概念，后来这种群被叫做“伽罗瓦群！

那么“群”到底是什么，其实正规的讲法应该从定义说起，那就是：

（1）封闭性

（2）结合律

（3）单位元

（4）逆元

满足这四条元素，可以构成一个群。

好像很简单，甚至让人觉得没什么特殊之处。所以我们现在从另外一个角度，感受一下群的魅力，看群能分析什么。

群这种东西属于剥离事物表象，直达本质属性的工具。比如说，有以下3组问题，我们画一个正方体，三个问题分别是：

（1）正方体有几个面，每个面几条棱？分别是6和4；

（2）正方体有几条棱，每条棱几个顶点？分别12条棱和2个顶点；

（3）正方体有几个顶点，每个顶点几个面相交而成？分别是8个顶点，每个顶点由3个面相交而成；

其实这些问题小学生都知道，但如果我们深入思考下这里面的关联就不一样了。

刚刚3组问题分别出现了3组数，分别是6和4、12和2、8和3，它们的乘积是不是都是24？

这个24，它是这个正方体摆放方式的总的可能性。

那么，下一个问题又来了：

如果把四个不同的小球从左往右排成一排，有几种不同的排列方式呢？

答：4！（高中数学就知道是4的阶乘）

即，第一个位置我们可以从4个小球里选任意一个放在那，所以可能性乘以4，第二个位置就只有3个小球里选了，所以可能性要乘以3，第三个位置、第四个位置，以此类推。

所以，排列方式的总数是4×3×2×1=24。

那最后一个问题是：正方体的摆放的方式和小球的排列方式都是24，两个24有什么内在关联吗？

其实是有的。它们的关联就是，它们的数学结构相同。这些内容，就可以通过群论分析出来。

在群论中，一个“群”是由一系列元素组成的集合，这些元素可以通过某种运算相互组合。

对于方体的摆放方式和小球的排列方式，它们实际上都构成了一个具有24个元素的群。

方体的旋转群：这个群由方体的所有可能旋转组成。每次旋转都是一个群的元素。

例如，你可以将方体绕着某一个轴旋转90度，这就是一个元素。

方体的每个旋转方式都遵循群论的规则，比如两次旋转的组合（即顺序执行两次旋转）仍然是群中的一个元素（即一个有效的旋转方式）。

总共有24种这样的旋转，构成了一个有24个元素的群。

小球排列的置换群：置换群是由所有可能的元素排列（即置换）组成的群。

在我们的例子中，有4个小球，每个小球可以处于4个位置中的任意一个。

小球排列的所有可能组合构成了置换群的元素。就像方体的旋转一样，这些排列也遵循群论的基本规则。

例如，两个排列的组合（即按照两个不同的方式重新排列小球）仍然是一个有效的排列，属于这个群的元素。总共有24种这样的排列方式。

尽管方体的旋转和小球的排列在物理形态上不同，但它们在数学上是相似的，因为它们都构成了具有相同结构的群：一个由24个元素组成的群。

这种数学上的对应关系是群论的核心，它揭示了不同系统之间深刻的内在联系。

总结：

以前总觉得数学很枯燥，但当你学习了解了数学背后的故事，才会发现原来数学的每一个故事后面都有一个活生生的灵魂！

好，今天就先这样啦~

科学羊🐏  2023/12/30

祝幸福~

参考文献：

[1]. 《吴军*数学通史》

[2]. 《卓克密码学》

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