为什么“虚数”在现实中不存在，但是又很有用？

大家好，我是科学羊🐑，这里是数学专栏第2季第16篇。

我们已经通过一元三次方程的解法，提出了一个神秘的概念——虚数。

其实虚数我们高中就学过了，但却没有那么亲切！因为我们接触它的知识面还是太窄，所以这次借这个机会好好研究一波关于虚数的知识。

虚数，这种数学实体独特之处在于，其平方居然是负数！

虚数在我们的现实世界中似乎找不到踪迹，这让人不禁好奇：数学家是如何运用这种看似虚构的概念来解决现实中的难题的呢？

回想起我们在初中接触到“平方根”这个概念时，老师总是强调：只有正数和零才拥有平方根。

换句话说，似乎没有任何一个数字能通过自我乘积得到一个负数。在解二次方程的过程中，我们偶尔会碰到平方根内部是负数的情况。那时，老师会告诉我们不必深究，因为这样的方程在实数范围内是没有解的。

然而，当我们的学习进展到三次方程时，这个话题就不再能够轻易绕过。

正如我们在上一讲中所学的那样，即便是拥有实数解的三次方程，在解题过程中也难免会遇到对负数开方的情况。

这个现象不仅挑战了我们之前的认知，也为数学世界带来了全新的视角。

比如下面这个方程：

显然 x=4 是一个解。

但是，如果我们利用上讲谈到的费拉里-塔尔塔利亚公式算，得到的是这样一个解，如下图。

也就是说这个结果里面居然有负数开根号，看来这个问题已经导致了一个不可避免的问题。

如何处理负数开根号的问题。这个难题促使数学家们大胆创新，他们构思出了一个独特的数学实体——将其命名为'i'，取自拉丁语单词“imagini”（意即英语中的“image”），象征着非真实和幻影。

这个创造性的思维跳跃带来了突破：利用这个虚构的数'i'，之前那些充满根号的复杂公式变得可以顺利计算，最终得出结果是4。

这里有一个令人好奇的现象：那些虚数在计算过程中似乎消失了，实际上是它们的正负相互抵消。对于数学基础扎实的同学来说，自行推导这一过程无疑是一次有趣的挑战。

给人的感觉就好像，我正在解一道平面几何题，因为解体过程比较困难，所以做了一条辅助线，等我解出来之后，便把辅助线擦去....

好似一门艺术！

当然，这个问题很抽象，我们举几个例子来看看，虚数到底有什么用？

第一个当然是数学本身的应用，比如为了解一元三次方程，在实数的范围内，

这个方程显然是无解的，所以你再怎么研究也没意思！

但是如果引入一个虚拟的概念，虚数i，就让所有的方程都变得有解了。

更漂亮的是，引入虚数的概念后，所有的一元N次方程都会有N个解，没有例外。

第二个就是作为工具使用， 它的魅力之一就在于，它能够轻松地将我们熟悉的直角坐标系统转换为极坐标系统。

想象一下，我们正在探索大海或穿梭在蓝天之中。在这样的场景下，极坐标系统就显得尤为重要。它不仅仅是数字的游戏，更是一种直观的方位表达方式。比如，当飞行员说“向两点钟方向飞行20公里”，这实际上就是在使用极坐标来描述方向和距离。

但问题来了，如果只使用我们常见的实数来进行极坐标的计算，情况会变得异常复杂。这就像是试图在没有指南针和地图的情况下航行一样困难。

然而，当我们引入虚数，一切就变得不同了。虚数像是一把魔术棒，能够将复杂的计算简化，让坐标转换变得轻而易举。这不仅仅是数学上的巧合，更是数学美学和实用性的完美结合。

因此，虚数并不是抽象的、遥不可及的。

相反，它就像是一个桥梁，连接着理论数学和实际应用，展现了数学在现实世界中的强大作用和无限可能。虚数的使用，既是数学家智慧的结晶，也是我们认识世界的一个重要窗口。

第三个层面是应用层面。量子力学、相对论、信号处理、流体力学和控制系统的发展都离不开虚数。

我们再深挖下，看一个关于三相交流电的应用问题。

我们知道，在工程计算中交流电的电压和电流通常以正弦波的形式变化。

正弦波是一种周期性波动，可以用数学函数正弦（sin）来描述。在交流电中，电压和电流随时间变化的方式可以表示为：

这里：

• V(t) 时间 t 的电压。

• Vmax 电压最大值（即，峰值）。

• ω 是角频率，表示了波的快慢。

• ϕ 是相位，表示波形相对于起点的偏移。

现在我们引入复数。复数是实数和虚数的结合，可以写成 a+bi 的形式，其中 i 是虚数单位，满足i^2=−1。

在交流电分析中，复数被用来表示电压、电流和阻抗。

复数使得处理正弦波变得更加容易，特别是当涉及到相位偏移时。

在复数表示中，一个旋转的矢量可以用来表示一个正弦波，这个矢量的长度表示振幅，它旋转的角度表示相位。这种表示方法在数学上被称为“相量”或“复数表示法”。

在电气工程中，我们经常使用复数来表示电阻（R）、电感（L）和电容（C）的阻抗。例如：

• 电阻的阻抗仅有实部，表示为 R。

• 电感的阻抗包含虚部，表示为 jωL，其中 j 是虚数单位。

• 电容的阻抗也包含虚部，表示为 −j/(ωC)。

通过使用这些复数表示，我们可以更容易地进行电路分析，特别是在计算电路中的电压和电流时。

具体计算我们就不涉及了 ，大家只要了解虚数的实在价值就好。

另外，这里再普及一个数学知识，随着人们对数形式的增多，便有了，实数和虚数合在一起，就形成了复数。我把人类认识数的过程用一张图表示出来，它是从中心往四周扩散的：

复数的基础在现实世界里并不存在，但是建立在不存在基础上的工具，却能解决实际问题。

下面这张图描写了复数、实数、有理数、整数、代数数之间的关系

比如我们使用的三相交流电是实实在在地存在的，但很多问题，就像上面方程所说，都复数这个工具解决，要比用实数加上三角函数解决起来容易得多。

实际上，涉及到电磁波的几乎所有问题，都需要使用复数这个工具来解决。

想象一下，一个物理学家坐在窗前，眼前的电磁学方程就像是一幅乱麻。然而，当虚数悄然步入这场数学的舞会时，一切都变了。

突然间，那些曾经杂乱无章的方程变得整齐、优雅，就像是经过精心编排的交响乐。

对于物理学家而言，虚数就像是一把魔法钥匙，解开了电磁学的秘密，使得复杂的物理现象变得简单和和谐。

但在数学家的眼里，这一切又有着截然不同的意义。

对他们来说，虚数的引入并不是专门为了服务于物理学，它不是为了某个特定的应用而诞生的工具。

相反，虚数的出现是数学探索精神的体现，是对已知数学领域的一种自然而然的扩展。

就像是探险家在未知的海域中航行，虚数是他们发现新大陆的船只。在这个过程中，物理学的应用只不过是一种意外的、但又令人惊喜的收获。

这就是数学的魅力所在：它不仅仅是一门科学，更是一种艺术。

数学家和物理学家，虽然他们的出发点不同，但他们的工作交织在一起，共同描绘出了这个世界的精彩画卷。

虚数，这个数学中的“不速之客”，最终成为了连接理论与实践，连接数学与物理的桥梁，展现了知识领域之间复杂而美妙的联系。

好，今天就先这样～

科学羊🐏  2024/01/19

祝幸福~

参考文献：

[1].《吴军*数学通识》

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