每天开车上班找不到停车位，怎么办？有一种方法能让你计算空余车位的可能！

人生只有两样美好的事情：发现数学和教数学

——泊松

大家好，我是科学羊🐑，这里是数学专栏概率论第3季第5篇。

今天我们来了解下伯努利试验中的一个特殊情况——泊松分布。

柏松分布其实是一个很实用的概率论知识，可惜我们做学生的时候听到这个名字有时候都望闻生畏，今天我们借鉴吴军老师数学科普来给大家分享一个例子来了解下这个概念。

其实，就是在某些情况下，也就是伯努利试验的一种特殊情况，尽管某个事件发生的机率极低，但因为尝试的次数众多，这类情况下的分布被称作泊松分布。

举个日常生活中的例子：车祸的发生就是一个典型案例，其中随机性的发生概率小而尝试次数多。

我们先了解下泊松～

01 泊松的生平

西梅翁·德尼·泊松（1781-1840）

在1798年，一位年轻的才华横溢的学生以优异的成绩踏入巴黎综合理工学院的大门。

他就是后来名垂青史的泊松。他的到来立即引起了教授们的关注，他们鼓励他根据自己的兴趣自由学习，这对于一个热爱知识的年轻人来说，无疑是最大的支持。

令人惊叹的是，不到两年的时间，泊松就发表了两部具有开创性的备忘录，分别探讨了艾蒂安·贝祖的消去法和有限差分方程的积分问题。

这两部作品获得了西尔韦斯特·弗朗索瓦·拉克鲁瓦和阿德里安-马里·勒让德的高度评价，并被推荐发表在《陌生学者集》上，这对18岁的他来说，是莫大的荣誉和认可。

泊松的学术旅程由此起航。他有幸学习了拉格朗日关于函数理论的课程，并很快与这位数学巨人成为朋友。

他不仅追随了拉普拉斯的学术脚步，更获得了这位数学大师几乎如同对待亲子般的关照。

泊松的整个职业生涯，直到他在巴黎郊外索镇的去世，几乎都在不断地进行学术写作和发表他庞大的学术成果，同时还担任了众多教职。

他的教学生涯同样充满传奇。泊松在还是学生时就已经表现出了教学的天赋，他的同学们经常在难题困扰时向他求助。

他的这种能力很快得到了认可，1802年他被任命为代课教授，并在1806年正式成为教授，开始了他辉煌的教学和研究生涯。他的学术足迹遍及天文学、理论力学等多个领域，成为多个重要科学机构的核心成员。

泊松的个人生活同样丰富多彩。

1817年，他与南茜·德巴迪结为连理。尽管他的父亲因早年的经历而痛恨贵族，但泊松却被授予了男爵的荣誉。然而，他从未公开使用过这一头衔。

1830年七月GM期间，他几乎失去了所有荣誉，但得益于弗朗索瓦·阿拉戈的巧妙安排，他得以保留。

七年后，他不是因为社会原因，而是作为法国科学界的杰出代表，被封为法国贵族院议员。

泊松的思想独立，他是一个无神论者，这在当时并不常见。

他的教学风格和学术成就让他在科学界赢得了极高的声誉。

在繁忙的教职工作之余，他依然能够发表超过300篇的学术作品，覆盖了纯数学、应用数学、数学物理、理论力学等领域。

泊松曾经说过：“人生只有两样美好的事情：发现数学和教数学。”这句话充分体现了他对数学的热爱和奉献。

02 什么是柏松分布？

那么，泊松分布到底是什么呢？

让我们通过一个简化的例子来理解：设想一个有10个停车位的公司，该公司有100名员工，每位员工在早上8点前开车来上班的概率为10%。

就像我们之前讨论的，他们到达公司的时间是完全随机的，互不相关，也不会因为前一天没抢到车位而影响第二天早来的可能性。

假设你是该公司的一名新员工，早上8点准时开车抵达公司。

那么，停车场还有空位的概率有多大呢？我们可以通过泊松分布来计算这个概率。

泊松分布是这样定义的：如果随机事件A发生的概率是p，进行n次独立的试验，恰巧发生了k次，则相应的概率可以用这样一个公式来计算：

λ是试验次数n乘以每次试验出现情况的可能性p的乘积，即λ = n*p。在上述停车场的例子中：λ等于10。

因为员工的数量100乘以概率10%得到10。

让我们尝试计算在这种情况下你能找到停车位的概率。在公开这个答案之前，你或许可以自己估算一下这个概率大约是多少。

许多不了解泊松分布的人可能会猜测，这个概率大约在10%或90%左右。

如果停车场正好只停了2辆车，那么P(X=2)=0.23%

但实际上，通过计算我们可以发现，如果停车场里的车辆数量少于或等于9辆，你就能找到停车位，这个概率大约是46%，即你大约有一半的机会能停到车。

这个概率的计算揭示了一个关键点：面对随机性，直觉和简单逻辑往往会误导我们，而精确的数学计算则能提供更靠谱的预测。

接下来，通过调整员工数量和停车位的比例，我们可以进一步探究泊松分布的影响。

比如，如果公司员工减少，或者停车位数量增加，你找到停车位的概率会如何变化？

设想一下，如果你的公司员工数量减少到了40人（你不在其中），并且每位员工在早上8点前开车到达公司的概率仍然是10%，但公司的停车位同时也缩减至仅有四个。

在这种情况下，你获得停车位的几率是否还和以前一样呢？

直觉上，我们可能会认为，在8点整时有四辆车到达的情况，与之前十辆车到达的情况相比，找到停车位的可能性大致相同。

但实际上，现在你找到停车位的概率仅为大约40%，较之前有所下降。若公司人数进一步减少至10人，仅剩一个车位，那么你在8点到达公司时获得停车位的可能性约为三分之一。

反之，若公司扩员至200人，并提供20个停车位，其他条件不变，你找到停车位的概率将提升至大约50%左右。

这说明，当我们的“选择范围”扩大时，即使随机事件的发生概率保持不变，成功获得停车位的几率也会增加，但50%是一个理论上限。

那么，如果希望确保早上8点到达的员工能够有足够的停车位怎么办呢？

解决方法是增加一些额外的停车位作为缓冲。以最初设定的公司有100人的例子来说，如果公司准备了13个停车位，那么在8点到达时，大约有85%的几率可以找到停车位。

这30%的增量虽不显著，却有效地缓解了停车难的问题。

通过这些例子，我们不仅能更好地理解泊松分布，还能洞察到在现实生活中如何更有效地管理资源和预防风险。比如电话公司在设计线路时就必须考虑到随机性，通过增加一定的冗余来避免用户频繁遇到占线情况。

同样的逻辑也适用于保险行业。

通过将风险分散到更大的“池子”中，即使面对不常发生的小概率事件，我们也能通过集体的力量来减轻单个人可能承受的损失。

总之，通过探索泊松分布，我们不仅加深了对随机性的理解，也学会了如何在面对不确定性时作出更明智的决策，无论是在日常生活中还是在工作中。

这种知识，特别是对于理解风险和采取预防措施来说，是极其宝贵的。

对于泊松分布先谈到这里，想深入研究的朋友评论区见～

好，今天就先这样啦～

科学羊🐏  2024/02/23

祝幸福~

参考文献：

[1].《吴军数学通识讲义》

[2].https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A5%BF%E6%A2%85%E7%BF%81%C2%B7%E5%BE%B7%E5%B0%BC%C2%B7%E6%B3%8A%E6%9D%BE

感恩遇见，喜欢的话点个【在看】，有你们的支持是我最大的动力！

往期推荐