这份信里到底写了什么？既让大叔康托睡不着觉，还导致了第三次数学危机！

大家好，我是科学羊🐑，这里是数学专栏第3季第17篇。

接上篇我们继续来谈上篇提到的话题 —— 现代数学研究什么？

在过去四个世纪的漫长岁月里，科学的发展轨迹呈现出明显的地理漂移，世界科学的重心曾四度迁移。

其中，德国在这场科学接力赛中扮演了举足轻重的角色，特别是在哥廷根大学的黄金时代，由大数学家希尔伯特引领的科学繁荣，持续了近九十年。

然而，随着第一次世界大战的爆发，德国的科学中心地位宣告结束。

大卫·希尔伯特摄于1886年

回望1900年，希尔伯特的名字在数学界如日中天，其影响力之大，连时代的巨人庞加莱也因希尔伯特对集合论的评价而重新审视这一理论，终于获得了深刻的理解。

这一转变象征着集合论从被误解到被广泛认可的转折点，尽管这种转变未能为康托带来任何慰藉。

康托:左(25岁)右(60岁)

康托，这位因为集合论而遭受数学界诸多非议的先驱，在精神上备受折磨，最终在第一次世界大战期间贫困潦倒，孤独终老于精神病院。

康托的集合论不仅开启了现代数学的大门，而且在其去世二十年后终于得到了世人的广泛接受。

集合论的概念允许数学家重新构建数学的整个体系，不再局限于传统的分类方法，而是根据研究对象所属集合的特性进行定义。

伯特兰·亚瑟·威廉·罗素Bertrand Arthur William Russell1872年5月18日

就在集合论刚刚打好基础，一个奇迹问题出现了！

在1902年的某天，32岁的英国数学家罗素给病中的康托写了一封信，康托看信的时候还处于间歇神经分裂症中的清醒的时间，但是看了这个问题之后，让他又睡不着觉了。

这封信的内容戏剧了不少，我们来看看核心是啥，据说罗素举了一个例子：

说是：村子里有一个理发师，脾气不好，还有个奇葩规矩，就是只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子。

这听上去挺有道理的，因为自己给自己刮胡子了，就用不着找理发师了。

但罗素写信问康托的问题是：

这个理发师如果遵循这条原则，那他要不要给自己刮胡子呢？

请思考，稍微想一下就知道，无论怎么回答都是矛盾的。

若该理发师选择不为自己刮胡子，则他自己就成了那种不自理胡须的人群，即A类人士。根据他自设的规则，他理应为自己刮胡子，这里就出现了逻辑上的冲突。

反过来，如果他决定自己刮胡子，那他就自动归入了B类，即那些自己处理胡须的人。按照他的规则，这种情况下他就不应该为自己刮胡子，再次导致了逻辑上的矛盾。

所以怎么回答都是矛盾的。 

等等，这....和康托研究的集合有什么关系呢？

有，请看数学表达。

如果用集合的语言表述就是，设集合S是由一切不属于自身的集合所组成的，那么问题是，S包含于S是否成立呢？这就是集合论的表述。

按康托之前的定义，S应该包含S，但在这个问题下，S又不包含S了，所以定义出现了矛盾。

罗素这封信里描述的矛盾后来被称为罗素悖论，也叫做理发师悖论。

那你说，这个问题严重吗？

肯定严重啊！因为这个问题直达康托体系的底层逻辑，也就是说，康托在搭建集合论体系的时候，这个体系内部就包含了互相矛盾的内容。

所以依照这些基础继续推导出的东西一定是不稳妥的。都以为可用集合论来构建新的数学体系，然而集合论的地基却有问题。

于是第三次数学危机由罗素的这封信开始爆发了！

罗素悖论的提出，引发了数学界的第三次危机，促使数学家开始寻求公理化集合论的途径，以建立一个严密无瑕的数学基础。‘

既然问题出现了，接下来就是赶紧解决问题，目标就是要重新完善集合论的基础，规范出一个严格的，没有自相矛盾的集合论出来，也就是公理化集合论。 

公理化集合论的目标是从最基本的概念和命题出发，构建一套完整的数学体系。

笔者认为，就是让所有的人都觉得好像听起来没问题，且有很基础，就像两点之间直线最短一样简单。

科普作家卓克老师做些简单的概念，大家体会下：

空集存在公理，说的是存在一个集合，它里面没有元素，完了。

无穷公理，说的是存在一个集合，它里面有无穷多的元素，完了。

集合相等公理，一个集合完全由它的元素决定，如果两个集合含有相同的元素，那么两个集合是相等的。

在第三次数学危机爆发之后30多年，集合论的公理化就完成了，虽然表面上看似问题得到了解决，实质上这只是对集合论基础的一次修补，而未能根本解决所有问题。

嗯...有点像改Bug！

哥德尔，就是和爱因斯坦一起下班的那位

尽管公理化集合论成功构建了一套看似坚不可摧的数学框架，但哥德尔的不完备定理如同一记重锤，猛烈撞击着这座大厦的基石，揭示了即便是在这样严密的体系中，也存在无法判定真伪的命题。

这一发现不仅震撼了数学界，更使得数学的基础再次陷入动摇。

在这场数学的探索与革新中，一个神秘的身影——布尔巴基，横空出世。他以广泛而深刻的研究成果惊艳了数学界，却又让人对其身份充满好奇。

布尔巴基不仅是一个人，而是一群志同道合的数学家共同的化名，他们的工作推动了数学理论的进一步深化和发展。

从希尔伯特到康托，再到罗素和哥德尔，数学的历程是一部充满挑战和突破的史诗，每一次危机都是对数学基础的重新审视和完善。

这一历程不仅展示了数学理论的演进，更体现了人类对知识追求的不懈精神和勇于探索的勇气。

关于神秘的布尔巴基下篇谈～

好，今天就先这样啦～

科学羊🐏  2024/03/13

祝幸福~

PS：

另外，告诉大家一个好消息，因大多读者的需要，科学羊将启动一个科普读物（物理学+数学专栏合集）的读物手册整理，主要是将科学羊往期文章进行整合做成一本书，这样既可以给孩子做经典科普，也可以拓展自己的知识边界。有需要的可以私我入科学羊科普读物见证群，加入一起讨论～

目前该册子正在筹备中，为期1～2月！扫码注明备注来意（科学羊读物）

参考文献：

[1].https://www.dedao.cn/course/article?id=WqavDm012GolV7mvoXxPjEy8zdk73Q

[2].卓克*科学思维课

感恩遇见，喜欢的话点个【在看】👍，有你们的支持是我最大的动力！

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