如果没有这个思维方法，可能数学的进步会慢几百年！类比思维（上）
大家好，我是科学羊🐑，这里是数学篇第五季第02篇，今天我们从类比的角度谈谈数学思维的变戏法，本篇是（上）。
据传，鲁班在发明锯子之前，人们仅用斧头砍伐树木，这种方法不仅费力还效率低下。
一次，鲁班上山时不慎被山草的锋利叶片割伤了手。这引起了他的好奇：这草叶怎么如此锋利？
细看之下，他发现这叶子边缘镶嵌着锐利的小齿。
鲁班灵光一闪，思考是否可以用更坚硬的材料制成带齿的工具来锯木。最终，他根据这种植物叶子的结构，发明了锯子。
从古代开始，人类就对月亮充满了好奇。长久以来，月亮被认为是神圣不可侵犯的领域，外观圆润光滑。
1609年，伽利略用他的望远镜观察月球，首次揭示了它的真实面貌——一个充满崎岖峭壁和陨石坑的不平面。
伽利略注意到，在月球表面暗部也有些许亮点，这些亮点随着时间慢慢变得更亮、更大，最终与周围的亮区融合。
他联想到地球上的山峦在日出时由阴影逐渐变得光明的过程，从而推测月球的地形应与地球相似，具有高山和深谷。这种观点彻底改变了人们对月球表面的看法。
再如，数学家布鲁克·泰勒提出的泰勒级数，可以将复杂的函数分解为简单多项式的和。
这种方法与音乐中的和声原理有着惊人的相似性。
在和声中，复杂的音乐和声可以分解为简单的和弦。泰勒利用这一类比，将复杂的函数视为基本“和声”（多项式）的组合，极大地简化了函数分析的过程。
同样，我们昨天也谈了关于三维时空到四维时空类比的案例。
| 二维中的概念 | 三维中的概念 |
|---|---|
| 长方形 | 长方体 |
| 正方形 | 立方体 |
| 面积 | 体积 |
| 周长 | 表面积 |
好，接下来，我们举几个相关类比的案例一起研究下。
01 非十进制与十进制的类比
众所周知，在我们所熟悉的十进制中，被9整除的数的特征是其各位数字之和能被9整除。例如：
因此，297能被9整除当且仅当其各位数字之和，即2+9+7=18，能被9整除。
那么，我们是不是可以做这样的类比呢？在七进制中，被6整除的数的特征是各位数字之和能被6整除。其推理过程可以类比十进制的推理，例如：
所以，435能被6整除等价于其各位数字之和，即4+3+5=12，能被6整除。
02 祖暅原理
祖暅原理,又称等幂等积定理，是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等的定理。祖暅之《缀术》有云：“缘幂势既同，则积不容异。”
该原理最早是由我国数学家刘徽提出的，后来祖冲之的儿子祖暅再次提出！
球的体积
我们知道，球的体积等于其内接圆柱（直径等于球的直径，高等于球的直径）体积的二分之三。这一发现对于理解和计算球体和半球体的体积非常有帮助。
根据祖暅原理，球的体积是其内接圆柱体积的二分之三。内接圆柱的体积由底面积（圆的面积）和高度（等于直径）决定：
球的体积为
不得而知，祖暅原理其实是就是和几何求积相关的著名命题，比如两个同高的立体，若在等高处的截面积相等，则它们的体积相等。
也就是说，夹在两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，那么这两个立体的体积相等，如下图所示，
我们可以得到祖暅原理的二维类比结论：夹在两条平行线之间两个平面图形，被任一平行于这两条平行线的直线所截，如果两条截线段的长度相等，那么这两个平面图形的面积相等。
03 三角形与四面体的重心
| 二维中的概念 | 三维中的概念 |
|---|---|
| 三角形 | 四面体 |
| 中线 | 中面 |
| 直线与直线的交点 | 平面与平面的交线 |
三角形的三条中线交于一点，这个点即为三角形的重心。
我们可以这样类比：将四面体的一条棱及其对棱的中点连接起来的三角形称为四面体的中面，那么一共有6个中面，且虽然我们暂时不去证明6个中面是否交于一点这个结论，但至少，我们预感这么类比出来的结论应该是对的。
这6个中面交于一点，则这个点就是四面体的重心。
虽然我们暂时不去证明6个中面是否交于一点这个结论，但至少，我们预感这么类比出来的结论应该是对的。
好，今天就先这样啦，明天接着聊类比思维下篇。
科学羊🐑
2024-06-05 于东莞
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