我们到底该信谁？这套神仙级数学武器会告诉你答案！

「封面图」一个简单的贝叶斯网络。雨水影响洒水器是否有动作，且雨水及洒水器二者均可影响草是否湿润. 来源 wiki

--本文较长，预计阅读时间10min--

大家好，我是科学羊🐑，这里是数学篇第五季第16篇，今天我们再谈一个实用的数学工具。

你是否听说过这样一个故事？

一个小镇上发生了一起珠宝盗窃案，所有的证据都指向镇上的一位名叫约翰的绅士。

约翰平时为人和善，是镇上广受欢迎的医生，但此时所有人都在猜测他是否真的有罪。

就在此时，镇上的警长决定请一位数学家来帮忙，他相信这位数学家能通过一些巧妙的方法揭示真相。

数学家到来后，没有直接查看案件的证据，而是问了一些奇怪的问题：镇上有多少人？平时有多少盗窃案发生？约翰被指控的频率有多高？这些问题让人摸不着头脑。

但数学家解释道：“我要用贝叶斯定理来分析这个案件，找出约翰是否真的有罪。”

镇上的人们对这种方法感到困惑，但也充满了好奇。

数学家继续解释，他会将现有的证据和背景信息结合起来，通过贝叶斯定理来计算出约翰有罪的概率。

到底什么是贝叶斯定理？它如何帮助我们揭示真相？让我们一起进入贝叶斯定理的世界，探索这个神秘而强大的数学工具。

贝叶斯定理是概率论和统计学中的一个重要公式，它为我们提供了一种更新概率的方法。这个定理在许多领域有着广泛的应用，从医学诊断到机器学习，再到日常决策。

托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）

贝叶斯定理由18世纪英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）提出，它描述了如何根据新信息更新事件的概率。

贝叶斯定理的公式如下：

其中：

- P(A|B)是在事件B发生的情况下事件A发生的概率（后验概率）。

- P(B|A)是在事件A发生的情况下事件B发生的概率（似然）。

- P(A)是事件A的先验概率。

- P(B)是事件B的先验概率。

假如看不懂不要紧，我们继续往下看。

贝叶斯定理的二维可视化图像，图中阐释了事件A、事件B以及他们之间的关系，图源wiki

01 托马斯·贝叶斯的思想💭

其实，托马斯·贝叶斯是一位牧师和数学家，对概率论非常感兴趣。在他的时代，概率论主要应用于赌bo和保险等领域，但它的理论基础还不完善。

贝叶斯希望通过数学的方法来解决一些更为广泛的问题，特别是如何在获得新的证据或信息后，更新对某个事件发生的概率。

贝叶斯思想的精髓可以用一句话概括：“观点随事实发生改变”。

那么，如何科学地修正观点呢？坚定不移是不可取的，盲目听信也是不对，这时候就需要贝叶斯方法啦，这就是最近流行的热点词汇——贝叶斯大脑，其实倒不是什么高大尚的，想开点其实就是一个数学模型。

为了深入理解这个方法，我们可以稍微用一点数学，它其实就是概率的加减乘除。

掌握了贝叶斯方法，你会发现一种全新的思维方式带来的巨大满足感。

贝叶斯方法就像破案。

福尔摩斯经常说自己用的是演绎法，更准确地定义应该是是归纳法。

演绎法是从规则推导结果，而归纳法是从结果追溯原因。

而贝叶斯方法的本质，其实就是从结果反推原因。

比如，你身边发生凶案，你怀疑老李是凶手，但没有证据时你的怀疑度肯定较低。但如果某天从老李家搜出了凶器，你就会增加对他的怀疑，这就是观点随事实改变。

另外，得到专栏作家万维钢老师曾提到过：信仰在贝叶斯看来也是一种概率。

传统观念认为信仰是坚定不移的，但哲学家大卫·休谟在1748年的文章《论奇迹》中提出，像死人复活这种违反常识的事情，仅凭几个目击者的证言是很弱的证据。

休谟实际上是在质疑耶稣复活，他说的没错，普通事情容易接受，但出乎意料事情则需要更强的证据。

卡尔·萨根也说过：“超乎寻常的论断需要超乎寻常的证据。”

贝叶斯提出，我们对某个假设的相信程度应该用一个概率来表示。

例如，P = 1 就是绝对相信，P = 0 就是绝对不信，P = 15% 就是有一点信。

当有了新证据后，这个概率需要更新为P(假设|证据)，即在有新证据情况下对假设的相信程度，没错，这就是条件概率。

一般来说，P(A|B) 表示在 B 事件已经发生的条件下，A 事件发生的概率。

举个例子，A 代表下雨，B 代表带伞。

假设这个地方不常下雨，所以 P(A) = 0.1。

但是今天你注意到爱看天气预报的老王带了伞上班，那么你可以推断今天下雨的概率增加了——也就是说，在“老王带伞”这个条件下，下雨的概率就是 P(A|B)。

如果我们用因果关系来表示，可以写成“下雨 → 带伞”，即 A → B。

类似地，“老王是凶手 → 在老王家找到凶器”也可以表示为“假设 → 证据”。

现在我们要计算的是 P(假设|证据)，这是一种逆向概率计算，即从结果推测原因，这种计算较为困难。

当然，一般从原因算结果比较容易，比如，一个小孩向窗户扔球，你可以估计窗户被打碎的概率，这是“正向概率”。

但如果你只看到窗户碎了，要推测窗户是怎么碎的就非常困难了。

不着急，这时候我们就请贝叶斯出马！

02 贝叶斯定理的实际应用

为了计算P(A|B)，我们需要考虑A和B同时发生的概率。

有两个方法可以计算这个概率：

第一种：先计算B的概率，再计算B发生的情况下A也发生的概率，即P(A|B)×P(B)。

第二种：先计算A的概率，再计算A发生的情况下B也发生的概率，即P(B|A)×P(A)。

这两个结果一定相等，因此我们得到贝叶斯公式：

这就是贝叶斯公式。之所以要这么算，就是因为常常是 P(A)，P(B) 和 P(B|A) 都容易知道，而这个逆概率 P(A|B) 只能用这个公式间接知道。

我们来看个具体例子：「乳腺癌检测」

假设一位40岁的女性做了乳腺癌检查，结果是阳性。那么，请问她得乳腺癌的概率是多少？

我们用D表示她得乳腺癌，T表示测试结果为阳性。我们要计算P(D|T)。

根据公式，我们知道，现在现在其实就是需要求出 P(D)、P(T)和P(T|D)。

在没有新证据前，P(D)是40岁女性得乳腺癌的概率，约为1/700。

P(T|D)是如果她真的得了乳腺癌，测试结果为阳性的概率由检测仪器的敏感度决定的，答案是73%，也许仪器是不怎么准确的。

P(T)是随机选择一个人，测试结果为阳性的概率。

我们将这种情况可以分解为有乳腺癌(D)和没有乳腺癌(~D)两种情况，其中P(~D)=699/700。

没乳腺癌的但又被误诊断阳性的概率为 P(T|~D)是12%。

因此：

P(T) = P(T|D)✖️P(D) + P(T|~D) ✖️ P(~D) = 12.1%

带入贝叶斯公式，我们最终得到P(D|T)=1/116。即使检测结果是阳性，她真的得乳腺癌的概率也不到1%。

这是一个非常出乎意料的结论。

假设有3000名40岁的女性，根据前面说的各项数据，其中只有4人真有乳腺癌，而被正确检测为阳性的只有三人。

图片来自 得到精英日课

虽然很惊奇，但事实就是如此！贝叶斯公式清晰地展示了结果。

这种情况的根本原因是乳腺癌患者比例小，而检测仪器不够准确。

如果这位女性携带易得乳腺癌的基因，初始的P(D)应该是1/20，用这个数计算，P(D|T)约为1/3，这就非常不一样了。

这就是贝叶斯方法中的关键：初始概率P(D)的选择取决于主观判断。

03 信念的传播：贝叶斯网络

贝叶斯方法不仅适用于个人判断，还能应用于更复杂的系统。

1982年，犹太裔科学家裴尔将贝叶斯方法引入人工智能领域，发明了“贝叶斯网络”。

贝叶斯网络是一种用来表示和计算不确定性问题的方法。它不仅用于语音识别、垃圾邮件过滤，还应用于油井钻探、新药审批等领域。

贝叶斯网络的工作原理是通过节点之间的条件概率来更新信念值。每次有新数据输入，网络就会更新信念值，这种过程被称为“信念传播”。

这种方法比传统的人工智能算法更为精确，取代了黑箱操作。

贝叶斯方法对传统科学方法进行了重大升级。传统的科学方法是提出假设、做实验验证、根据实验结果决定假设是否保留。

而贝叶斯方法是先给假设一个初始可信度，根据新证据调整这个可信度，进行动态判断。

贝叶斯方法是一种实用主义态度，它不追求绝对的因果关系，而是通过获取实用的知识，做出尽可能准确的判断和决策。

这与我们前面说的不追求绝对因果关系，只追求回答实用的因果问题是相同的道理。

贝叶斯方法的应用非常广泛，从你手机的语音识别到FDA的新药审批，各种你想到和想不到的应用都在使用贝叶斯方法。

它不仅为科学研究提供了新的视角，也在日常生活中帮助我们做出更科学的决策。

结语

贝叶斯方法教会我们，观点需要随着事实的变化而变化。我们应保持开放的心态，用量化的数值来决定我们的判断，虽然无法完全摆脱主观成分，但可以做出更科学的决策。

贝叶斯方法不仅是一种数学工具，更是一种生活哲学，它引导我们在面对不确定性时，如何更理性地思考和决策。

好，今天先这样啦～

科学羊🐏  2024/07/04

祝幸福~

参考资料：

[1].https://www.dedao.cn/course/article?id=RQLYWyjMZoa0J14OdVp4wvzDbO26Bq&source=search

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