草根谈|数学教学的立意
此文是笔者近期所思，落笔写成的大实话，毕竟笔者仅是一教书匠、一小小草根，说得不当之处欢迎吐槽，也希望得到大家谅解。
有时人的念头源于闲聊……
某日，与一出版社编辑朋友在茶室纵论教辅书籍，当谈及前几年出版的某本习题集时，我直言我买了，我需要，但我不推荐，因为这本书没有“灵魂”。
为什么我需要，因为在该本书中我能找到我需要的数学好问题，我所教的学生“口味”重，一般数学题对他们缺乏挑战，但并不是好题汇在一起就是好书。
编辑朋友问道：据作者说这些都是他研究n多考卷所著心得，都在某些考试中出现过。
我答：考过一定是好题，一定就代表方向？
好的数学问题应该源于通性通法但不失灵活，应该内涵数学思想给人以启发，而非仅一题一术之技巧，如果仅以考试出现过，就反复操练一术，有违数学学习初衷。
再者，有些“难”题已至学生极限，为了达成“掌握”再继续“变式”，提升难度有必要吗？教书应以所教学生数学思维水平为基础，真的不是“人有多大胆，地有多大产的”。
所以仅以“考过”论专著、论教学，立意不高。说到此，我不禁若有所思……
7年前，在我参加过的唯一一次全市数学教师教学评比的答辩中，专家问道：“你为什么选择上这个课题？”我脱口而出：“因为在***考试中出现过…”，我当时是说了大实话，说了自己现在想来甚至有些可笑的实话，现在的我很理解评比结果为何“失意”。
10多年前，在我教学生涯的起始，我疯狂抢课，一副非要把见过的题都要讲给学生听的架势，辛苦劳累之后又常伴随“我都讲过为什么你们还不会的惆怅”，当时感觉学生有负于我！其实现在想来有那份力气不如悠闲泡杯茶，边品茶、边品题，砍了雷同的三分之一，再留白三分之一，好好讲最后三分之一，与学生还是“互不相欠”，心情来得好些。
于是淡然对自己一笑，为师十六载，难道我的教学立意提升了？
01
高立意的数学教学设计
着眼于数学思维的培养
通过数学学习，学生到底能收获什么？笔者觉得应该是获得生活所必须的数学技能、生命所必须的数学思维以及生存所必须的进阶分数。所以笔者认为数学教学所选取的数学问题可以源于考试，但不能仅限以考试为依据。
分数重要吗？当然重要，学生没有分数不能进阶，老师没有分数就没有饭碗，特别是我处的环境，压力山大。对于平时“鄙视”应试，而最终要拿“分数”体现教学成果的现象，笔者只能微微一笑。笔者的观点是：君子爱分，需取之有道，取之有效（效率），合格的分数在于技能的掌握，而真正的高分在于思维的提升！
技能重要吗？当然重要，张奠宙教授曾经指出中国特色的双基教学的内涵在于：1、快速准确地进行运算；2、注重严密的逻辑推理；3、 建立和熟悉解题的套路，换言之“熟能生巧”，熟的是技能（双基），所生之巧在于数学思维，换言之思维的提升的基础就是技能（双基）的落实。
但不可否能数学学习的最大价值并非技能，更不是分数，而是数学思维的形成，而这恰恰是最不可能硬塞进人脑的！老师所能做的是提供有价值的数学问题，揭示“思维之道”，最终还是要靠学生亲历思考才能不断提升。
培养学生数学思维的教学不在于形式，而在于这种教学行为是否能真正触发每一位学生的思考，领悟思考的一般方法，进一步培养学生思考的习惯，所谓教之道在于“度”，道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。（摘自《礼记 学记》译文：引导学生，而不是牵着学生走；鼓励学生，而不强迫学生走；启发学生，而不代替学生走）。
例如，在讲解如下一道几何证明题时，同学们群策群力，想出了六种不同的解法……
问题：正方形ABCD中，BE⊥CF，AP=AB
求证：点E是CD中点。
课堂板书节选：
让学生充分表达不同解法后，笔者进一步提问：请大家探索一下得到这些解法的有哪些不同思路，并给这些解法分分类。
笔者觉得在培养学生数学思维过程中尤要重视培养学生“反思”的意识与能力，如果说一题多解是发散，那么多解归一就是聚合，就是促进学生回溯思维的路径！
经过讨论，得到以下不同的思维路径：
这样处理数学问题的立意也许就不仅在于这道题怎么做，而是遇到这类数学问题应该怎么思考了，也就是着眼于数学思维的培养。
02
高立意的数学教学设计
基于整体、运用一般路径
整体是事物的一种真实存在形式。数学的整体性既体现在代数、几何、三角、概率等各分支之间的相互联系上，也体现在同一分支知识的前后逻辑连贯性上。
高立意的数学教学设计要基于整体，新课教学要有相应的整体观念贯穿始终；章节教学结束需有知识的整理与概括；教学过程中需强调相关知识的联系性，上通下达，帮助学生逐步形成数学知识结构。
为了更好地实现数学教学的整体性，则需站在中观视角，先进行单元教学设计，再将其落实于每节课的教学。推荐阅读《初中数学单元教学设计指南》一书，该书由人民出版社出版，上海教委最新编著的《单元教学设计指南》中的一册（已基本实现上海初中数学教师人手一本。）
高立意的数学教学设计要体现数学教学的一般路径。数学知识的生成有着以下的一般路径：
由此形成了数学教学的一般路径：
① 研究思路
确定研究对象（下定义）→发现性质→证明性质→研究特例（性质、判定）
② 研究内容
几何研究的是要素和要素之间确定的关系。观察几何图形构成要素之间的相互关系是研究几何性质的基本方法；代数研究的是运算中的不变性，“算算看”是基本方法；函数研究的是变化中的不变性，在运动变化中进行观察是基本方法；
③ 研究方法
观察发现共性、推广一般；研究对象特殊化，发现性质；条件与结论互换，发现新定理…
从一般路径进行教学设计目的是培养学生思考问题的一般方法，从而提升数学思维能力！
案例：特殊四边形的性质
执教：黄喆 地点：山西运城东康中学
时间：2018年8月24日
教学设计：
一、复习平行四边形
师：请同学画一个平行四边形，并说明这种做法为什么画出的就是平行四边形？
师：说明平行四边形有哪些性质？（按边、角、对角线、对称性分类说明）
二、探究菱形性质
教师带领学生在原有平行四边形基础上，截取短边，使其一组邻边相等。
师：这还是不是平行四边形，那平行四边形有的性质，该图形是否依旧具备？
师：请探究这个图形还有什么普通平行四边形所没有的性质？
我们把这种特殊的四边形叫做菱形。
三、探究矩形性质
教师带领学生在原有平行四边形基础上，做垂直，截取相等，构造平行四边形。
师：这还是不是平行四边形，那平行四边形有的性质，该图形是否依旧具备？
师：请探究这个图形还有什么普通平行四边形所没有的性质？
我们把这种特殊的四边形叫做矩形。
四、探究正方形性质
截取短边，使得一组邻边相等→做垂直，截取相等，构造平行四边形。
师：这是不是平行四边形，那平行四边形有的性质，该图形是否依旧具备？
师：这是不是菱形，那菱形有的性质，该图形是否依旧具备？
师：这是不是矩形，那矩形有的性质，该图形是否依旧具备？
师：直接口述这种特殊的平行四边形有什么性质。我们把这种特殊的四边形叫做正方形。
（以下是板书）
东康中学选用的是北师大版数学教材，笔者通读了四边形单元，对于该单元的教学内容重新进行了规划
① 温故平行四边形的性质（从边、角、对角线、对称性）入手复习其一般性质；
② 在平行四边形基础上增加一个条件，探究其是否产生新的特殊性质（研究矩形、菱形的性质）；
③ 在平行四边形基础上增加两个条件，探究新产生的图形是否“继承”了平行四边形的一般性质和矩形、菱形的特殊性质。
笔者觉得该教学设计基于培养学生数学思维，符合几何教学的一般路径且适宜学生进行探究学习，并为后续特殊四边形判定的教学埋下伏笔，符合数学的整体性。
笔者几点说明
17 Sep 2018
文中案例选自于笔者山西运城讲学，笔者为这次讲学设计的一天培训内容如下：
23日14:30-17:30
讲座《如何讲评数学题》；
24日8:30-9:10
公开课《特殊平行四边形性质》；
24日 9:20-11:20
讲座《浅谈如何在课堂教学中培养学生数学思维》；
作为章建跃博士的粉丝，本文中摘录了不少章博的至理名言，在此一并表示感谢；
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