车轮到底在向哪个方向转？听首歌，就能回答这个问题
儿时，每次盯着高速转动的汽车车轮时，我总会有一种“错觉”：前行的车轮，肯定是（向前）逆时针转动，可为什么我觉得它在（向后）顺时针转动？难道车轮像迈克尔·杰克逊一样，也玩“太空步”？
迈克尔·杰克逊著名的“太空步”，其中的后滑步给人一种明明在行走却向后退的魔幻般视觉。（图片来源：搜狗百科）
什么？你没有盯（童）过（年）？不要紧，现在，请非常专注地盯着下图中的任意一点：
（图片来源：猫扑网）
看，你是不是也有同样的“错觉”！
至于这个错觉的成因，我们要从憨豆先生唱歌说起~~
什么“流畅”音乐，其实都是离散数据
眼睛的错觉，其实是人眼的“采样频率“太低，导致读取高速变化的信息（数据）时，发生了失真,Distortion。
采样频率是什么？这就得从“数字化”的概念讲起。没错，就是“数字化电视”、“数字闭路电视”里的那个词，相识这么多年了，可你懂它么？
宏观世界是连续的（模拟信号,Analog Signal），即每一时刻都有对应的状态（数值），例如憨豆先生唱歌，只要他不唱鬼畜，那每个时刻就都有他的声音。然而，计算机无法处理模拟信号，只能处理一定单位的离散数据，例如，1Byte。
（图片来源：作者提供）
所以，我们需要每隔一定时间间隔，读取模拟信号的值，即为时间离散化；由于精度,Accuracy的存在，取值也无法连续：例如圆周率3.14159265……，若计算机只能处理2位小数，那圆周率=3.14（通常不进行四舍五入，而是直接舍去后面的数据），即为数值离散化。
（图片来源：作者绘制）
至此，经过了时间和数值的离散化，连续的模拟信号，就变成了计算机可读取、处理的数字信号,Digital Signal，这个过程叫做采样,Sampling，也被称为数字化,Digitization。
其中用来取值的时间间隔，叫做采样周期,Sampling Period，对应的频率（1/采样周期）就叫采样频率,Sampling Frequency。
不难理解，即使是憨豆先生唱歌，20M的HQ版本，也要比5M的流畅版本更“动听”。即采样频率越高（采样点越密），数字化的数据越能还原真实的模拟信号，但与此同时，数据量也就越大，计算机处理的“负担“也越重（播放过于高清的视频，可能会卡顿）。
那么问题来了：在不失真的前提下，我们希望处理的数据最少（采样周期最长），采样频率的下限怎么定？想象一下，肯定不能只用一个【大】字，就判断出憨豆先生是在唱“【大】王叫我来巡山”，还是“如果【大】海能够，带走我的哀愁”。
数据越多，越能知道唱的是啥歌
在1982年，美国电信工程师H.奈奎斯特提出：在模拟/数字信号的转换过程（ADC）中，采样频率必须大于信号中最高频率的2倍（采样定理，也叫奈奎斯特采样定理）。
例如，我们对最简单的单频正弦信号进行采样，当我们用信号周期的1/20（最高频率的20倍）进行采样，很容易还原出这个正弦信号。
（图片来源：作者绘制）
而当我们用信号周期的1/2（最高频率的2倍）进行采样时，若我们恰好采到波峰（最高点）和波谷（最低点），就可以得到此正弦信号的幅值（（波峰-波谷）/2）以及周期（（波谷时刻-波峰时刻）*2），也可以还原出原始信号。
（图片来源：作者绘制）
做一个不恰当的类比（憨豆先生都不介意，你介意什么）：设憨豆先生唱歌的频率是“1字/1次，根据采样定理，若两个字采样一次（最高频率的2倍），结果为“如、大、能、带、我、哀，就，它，风，远”，就不难猜出：憨豆先生在唱张雨生的《大海》。
（图片来源：作者提供）
然而，信号最高频率的2倍往往不够，因为即使恰好采样到波峰和波谷，我们也是无法分辨原始信号究竟是正弦波信号/交流信号,Alternation Current,AC，还是三角波信号；另外，还有可能采样到零点处，让我们误以为原始信号是段常数信号/直流信号,Direct Current,DC……
（图片来源：作者绘制）
因此，在实际工程应用中，采样频率一般取信号最高频率的2.56-4倍，特殊情况下，甚至需要更高倍数。毕竟，数据多了不怕，可以降采样,Downsampling（每隔若干点，只取一点）。注意，降采样的约束条件，依旧是奈奎斯特采样定理。
（图片来源：作者绘制）
可如果数据少了，又该怎么让信息损失（失真）最小呢？最常见的处理方法是插值,Interpolation：根据某种算法，在已有数据中“创造”若干新数据，最简单的算法是用相邻两个数据的均值作为新数据。
（图片来源：作者绘制）
假如，憨豆先生又爱上了《小鲤鱼历险记》的主题曲，我们采样到的数据是“大，大，小/1，3，5，7/do，mi，so，xi”，在相邻两个数据间，用均值作为插值，则可以还原“大，大，中，小，小/1，2，3，4，5，6，7/do，rui，mi，fa，so，la，xi”。
（图片来源：作者提供）
可见，插值虽可以减小失真，但无法彻底消除信息的缺失。另外，现实中的插值算法种类繁多，不同的情况下应采用不同的算法。
前段时间，在日本，一位女星公开了一张自拍，有位死宅通过放大她眼睛里的映像，推断出了她的住址，后因骚扰该女星被捕。不难想象，在放大图片时，好的插值算法，可以更好地还原像素间的空缺，使细节更清晰。
（图片来源：作者提供）
唱do的同时又唱la，数据：我好难，还原不出来
若不满足奈奎斯特采样定理（采样频率过低），会发生一种在信号处理领域中，不容忽视的失真--混叠,Aliasing。简单来讲，就是数字信号怎么都无法还原出原始信号。混叠分为两类，一类为时域混叠，一类是频域混叠。
依旧对正弦信号进行采样，用过低的采样频率进行采样（这里为信号频率的4/3），会出现如下“误会“：
（图片来源：作者绘制）
可见，当不满足奈奎斯特采样定理时（采样频率<信号最高频率*2），采样信号不仅不能还原原始信号，还可能出现混叠频率,Aliasing Frequency。这种情况即为时域混叠。
一个信号不仅可以在时间域,Time Domain表示，例如最近憨豆先生的手机铃声--“燃烧我的卡路里”，它还可以在频率域,Frequency Domain表示，《卡路里》这首歌是由“do，rui，mi，fa，so，la，xi”这几个基本元素组成，即高低不同的频率。
（图片来源：作者绘制）
再做个不恰当的类比，当这几个频率域上的基本元素各自独立，互不影响的情况下，自然可以正常还原；但如果憨豆先生在唱do的同时，又想唱la，唱rui的同时，又想唱so（频谱重叠,Overlap），这种情况下就形成了频域混叠，那他只能通过B-Box来实现音乐梦了。
（图片来源：作者绘制）
而混叠是可以消除的，消除混叠有两种基本途径：首先，可以提高采样频率，还是那句话，信号采样，怕少不怕多；其次，采用抗混叠滤波器,Anti-alias Filter，采样前滤除不感兴趣的高频信号，例如录“海豚音”，我们不需要超声波，那就提前滤掉，防止其影响我们真正感兴趣的信号。
“太空步”的成因：混叠
回到最初的问题，为何人眼观察高速转动的车轮（逆时针），会出现车轮反向（顺时针）的错觉呢？就是因为人眼对其进行采样时，时域上发生了混叠。
将轮胎逆时针、等间隔的四个点标为“1”、“2”、“3”、“4”，若我们只盯最高点，实际经过最高点的顺序为“1-2-3-4-1-……”，即逆时针。
若人眼的采样周期，为车轮转动周期T的3/4，即采样频率为转动频率的4/3（不满足奈奎斯特采样定理），则我们第一次采样到1，经过3T/4后，第二次采样到4，再经过3T/4后，第三次采样到3，……，最终，我们看到的是顺序为“1-4-3-2-1-……”，即顺时针。
（图片来源：作者绘制）
若用本文中的正弦信号对其建模，即为：
（图片来源：作者绘制）
实际上，人眼刷新（采样）频率大约为24帧/秒，因此，只要车轮的转动频率大于12圈/秒时，人眼就会出现“反向”错觉。
当然，此原理也可以被我们正向利用：当眼前闪过图像的速度大于12张（帧）/秒，就会出现视觉暂留现象,Persistence of Vision，即认为画面是连贯的，这就是“视频”的底层原理。
日漫最高为24帧，美漫一般为30帧，因此美漫给人“快“的感觉。若仔细观察某些低成本的日漫，你会发现人物在走路时，没有脚部、甚至膝盖以下的细节：因为只用12帧，做不出这类细节。
现在知道为什么我不露脚了吧？因为穷！
（图片来源：搜狐网）
作者单位：西北工业大学 航海学院
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