论文专区▏航空摄影测量技术的数学方法探讨

李海滨等溪流之海洋人生 2023-05-07

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一、引言

数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门基础学科。透过抽象化和逻辑推理的运用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生^[1]，数学理论的发展为人类发展起到了重要作用。如今，数学被使用在世界不同领域，并激起新的数学发现，导致全新学科的发展，航空摄影测量技术便是诸多领域中的一个。

航空摄影测量是根据在航空飞行器上拍摄的地面像片，获取地面信息，测绘地形图的技术手段。目前，摄影测量技术已发展到数字摄影测量阶段，它对整个摄影测量的科研、生产都产生了极其深远的影响^[²^]。随着计算机技术飞速发展，1978年王之卓先生提出了“全数字化自动测图系统的研究方案”使摄影测量与计算机技术两者联系在一起。随着数据处理方法的不断引入，全自动航空摄影测量相关的技术逐渐成熟。全自动内定向、自动空三处理等算法在满足测量精度的基础上，大大降低了人们劳动强度，而其中涉及的数学理论及算法成为人们研究的方向。

数字航空摄影测量包含了多种复杂的数据处理过程，这些过程运用了大量数学方法。本文以数字航空摄影测量处理流程为基础，梳理了涉及的数学理论及算法，并从学科融合的角度将控制学、云计算等理论引入算法流程中，以提高航空摄影测量处理自动化程度，为拓展摄影测量领域应用，提高全自动化处理能力提供理论依据。

二、摄影测量数据处理流程数学方法分析

数学可以分成三大类：①基础数学（纯粹数学），专门研究数学本身的内部规律；②应用数学，是数学在科学、工程、医学和经济学等领域的应用；③计算数学与科学工程计算，是计算数学迅速发展并成为广泛应用的一门新兴交叉科学^[3]。

航空摄影测量数据处理过程比较复杂，基本流程主要包括：影像获取、预处理、空三处理、立体测图、生成3D成果等多个步骤，其处理算法包含复变函数与傅里叶变换、矩阵论、数值计算方法、数学形态学、概率论与数理统计、四元数等涉及了数学三大类的多种方法。

由图1可以看出，航空摄影测量数据处理各个流程模块功能不同，涉及的数学理论及方法也相异，甚至一个模块中包括多个处理方法。同时，由于新技术和新算法的引入，如多视图影像处理等技术方法已弱化了传统摄影测量方法预处理流程，如内定向已较少使用，相对定向减少人工刺点工作等。因此，本文以图1左侧所示摄影测量处理流程为序，依次介绍其中涉及的数学方法（图1右边所示）。

图 1 航空摄影测量数据处理流程与涉及数学算法匹配图

⒈复变函数及傅里叶变换

复变函数是以复数作为自变量和因变量的函数，其主要研究复数域上的解析函数。傅里叶变换是复变函数积分运算的一种形式，其是一种线性的积分变换，常将信号在时域（或空域）和频域之间变换时使用，在物理学和工程学中有许多应用。

影像获取是摄影测量数据处理的前提。影像是离散的光波数据，是由“照射”源和形成图像的“场景”元素对光能的反射或吸收相结合，通过CCD阵列进行取样、量化处理而获得^[3]。其原理是利用Shannon采样定理及傅里叶变换函数，实现影像平面空间域与频域卷积处理，从而获取可记录的数字影像信息^[⁸^]。其采样的公式可以表示为：

复变函数及傅里叶变换是图像处理基础：①直接影响图像的清晰度，判断图像是否可以进行测图应用的依据；②根据（△x,△y）大小影响成像比例尺大小，从而确定其所满足测图精度要求；③复变函数及傅里叶变换间接影响空三处理中的影像特征提取、匹配处理等算法精度，确保航测自动化解算具有较高鲁棒性。

⒉矩阵论

矩阵简单的讲是指纵横排列的二维数据表格，其是处理有限维空间形式和数量关系的重要工具。影像的摄影方式可以理解为空间三维到平面二维的转换，一方面影像是以矩阵形式存放，对影像的处理即使对矩阵的处理（影像成像原理可用公式⑶表示^[4]），另一方面在空三加密处理过程中涉及线性方程求解、SVD分解、LU分解、QR分解算法都离不开对矩阵的操作，矩阵表达将公式变得更简单、高效，如文献[5]介绍的SSBA算法利用稀疏矩阵解算方法降低传统光束法平差解算矩阵的维度，从而提高解算效率。（见图1红色连线）。

矩阵论在图像处理过程中地位非常重要，图像从采集、到处理、再到输出都是以二维矩阵形式表现的，可以说，影像处理过程是对矩阵解算的过程：①影像是一种数据矩阵表达模式；②影像处理是利用滤波器对矩阵元素的遍历过程；③多种数学处理方法可转化为矩阵方式表达，如平差解算可优化为对特殊对角稀疏矩阵的分解^[5]。

2.3 数值计算方法

数值计算方法是“研究用于求得数学问题近似解的方法和过程”，包括线性及非线性方程数值解法、插值方法、函数最佳逼近、数值积分等许多处理方法。

空中加密处理是立体摄影测量中，根据少量的野外控制点，在室内进行控制点加密，求得加密点的高程和平面位置的测量方法。光束法区域网空三是以每条空间光线为一单元，利用三点共线条件进行的平差处理^[5]。其原理为：

数值计算方法不仅在空三加密处理，在DEM提取、镶嵌处理、DLG采集及编辑等步骤中都有所涉及：①对离散点灰度、位置、高程信息进行拟合，例如影像重采样，对于像点灰度值可在原影像中相应像点周边灰度值利用插值方法进行解算；②非线性方程线性化处理，如平差处理过程中非线性方程可转化为Jacobi矩阵进行迭代处理，具体算法实现见文献[5]。

⒊数学形态学

数学形态数的基本思想是用具有一定形态的结构元素去量度和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。其由一组形态学的代数运算子组成，包括膨胀、腐蚀、开启和闭合等四个基本运算，用于图像分析和处理、形态滤波器的特性分析和系统设计。

航空摄影测量中涉及的影像特征提取与匹配算法用于实现影像的相对定位需要数学形态学的理论支撑：①角点与特征信息的提取，用于实现影像匹配，解算两张影像的基本矩阵、多张影像间多焦点张量；②特征线的提取，文献[11]为提高海岸带航空摄影测量精度，将海岸线信息作为等高点做平差的条件。

⒌概率论与数理统计

概率论是研究随机性或不确定性等现象的数学工具。数理统计在概率论基础上更深入地分析研究统计资料，通过对某些现象的频率的观察来发现该现象的内在规律性，并做出一定精确程度的判断和预测。

空三加密处理融合了大量的数学处理算法，传统航空摄影测量空三处理重点在数值算法解算，随着无人机航摄技术、A3航摄设备等新设备的引入，在影像、特征点等数据量呈海量级别大幅提升时，从影像中寻找相关性，提高匹配鲁棒性，降低方程复杂度，提升计算效率，数理统计算法为我们开了一扇窗：①随机采样一致性估计（random sample consensus, RANSAC）利用随机原理，通过匹配信息估计基本矩阵、三焦张量；②利用多张影像匹配信息服从高斯分布特性从而确定其平差权重，可有效提高平差精度^[¹²^]。

⒍四元数

四元数是简单的超复数，由实数加上三个虚数单位i、j、k组成，可表示为q₀＋iq₁＋jq₂＋kq₃，其中q₀、q₁、q₂、q₃是实数。四元数可方便的表达空间的旋转关系，较矩阵表达更加高效，占用的储存空间更小，其与欧拉角可进行相应转换^[¹³^]（见式⑹），被用于区域网平差中（由于篇幅原因，具体推导公式可参见文献[14]），降低平差矩阵维数，提高解算效率。

⒎多视图几何理论

计算机视觉多视图几何理论是近年来新兴的理论，其重点是利用几何的视觉计算方法，引入射影几何、仿射几何、欧几里得几何的变化，实现从二维图像认知三维环境信息的能力^[5]。目前，该理论还不够完善，其重点研究方向是多视图的相机自标定技术和三维重构技术（三维点信息），相信随着人们对环境信息需求增长，以及模式识别、三维仿真等理论的深入，其将给人们展示一个通过二维反演完整三维环境的仿真体系。

该理论的部分算法结合了前面提到的多种数学理论，提出了多种新算法，如基本矩阵F解算、Kruppa自标定方程等，其方法在空三解算、影像重采样、镶嵌处理等处理中发挥的重要作用。同时该理论与传统航空摄影测量相结合，利用多视角高重叠影像处理技术解决了传统摄影测量的“双眼视觉”束缚，更提高了地物三维仿真的位置、大小及精度。

三、多学科理论融合探讨

⒈控制系统理论

控制论是研究动物(包括人类)和机器内部的控制与通信的一般规律的学科，着重于研究过程中的数学关系。控制的基础是信息，一切信息传递都是为了控制，进而任何控制又都有赖于信息反馈来实现。信息反馈是控制论的一个极其重要的概念。通俗地说，信息反馈就是指由控制系统把信息输送出去，又把其作用结果返送回来，并对信息的再输出发生影响，起到制约的作用，以达到预定的目的^[6]。自动控制理论的任务是根据系统的性能指标要求，分析特定对象的运动性质，研究改变这种运动规律的可能性和途径，为提高自动控制系统的性能提供理论基础。

通过对数学模型的总结，对摄影测量整体技术形成一个闭合的环路（见图1左侧流程图），通过飞机、无人机等载体对测区实时飞行并实时解算满足高精度要求的地理信息，以自主控制飞行时间、航迹、高度、区域大小等要素实现地理信息的全要素、高精度获取，并进行实时加密解算、影像拼接、DEM提取，对不满足要求的影像所在区域重新飞行获取、解算，实现影像获取、数据处理、成果制作实时处理，是将控制系统理论引入自主无人航空摄影测量的一种模式。

⒉云计算理论

目前，普遍接受的云计算定义是美国国家标准与技术研究院（NIST）定义：云计算是一种按使用量付费的模式，这种模式提供可用的、便捷的、按需的网络访问，进入可配置的计算资源共享池（资源包括网络，服务器，存储，应用软件，服务），这些资源能够被快速提供，只需投入很少的管理工作，或与服务供应商进行很少的交互。大数据特色在于对海量数据的挖掘，但它必须依托云计算的分布式处理、分布式数据库、云存储和虚拟化技术。

随着人们获取影像信息手段多样化，如手机、掌上电脑等硬件设备的流行，每个人都可以成为获取影像的测量人员，使得成百上千亿张影像数据处理成为现实，如此大量的数据，只有通过云计算模式才能有效计算出合理的结果。

⒊其他多元技术手段

随着科学技术的发展，传统的技术模式将会被打破，新兴技术将为现代航空摄影测量技术引进新的理论及方法。例如，谷歌眼镜已经向外发售，GoPro运动相机、手机相机等多源影像获取设备，利用其获取及时大量的影像、视频数据，如果配备上相关的定位定姿信息，将对基于大数据的摄影测量技术以革命性的改进。

四、结束语

本文总结并探讨了数字航空摄影测量处理流程中涉及的部分数学理论及理论算法。一方面流程及算法的梳理为技术人员数据处理明细技术方法提供参考；另一方面为多种数学方法融合解决航摄问题提供理论支持。数学是摄影测量技术基础，更是人们认知环境的必需工具。通过普通照片、无人机影像、通用航空摄影影像、卫星影像等多时相、多分辨率影像自主融合处理将成为全自动航摄摄影测量处理的方法，可有效提高人们对环境信息的认知能力，为改造环境提供有效的技术支持。