科研这条路：一位数学博士给本科生的建议
日期：2018年12月22日
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来源：数学与人工智能
科研这种事情，就和一个人到海里面游泳一样。游着游着，猛一回头，就只有自己一个人在游泳，而且已经看不到岸了，只能够一个人努力往前游。做科研难题的时候，只有自己能够帮助自己，只能够一个人竭尽全力地往前走。
本来是打算交了博士论文之后才开始写这篇文章，但是之前读过网上别的博士写的一些书籍和资料，自己也一直不停的在写blog，所以感觉这篇文章已经基本成熟，再加上最近科研毫无进展，故写一篇文章来纪念一下自己的博士生涯。
01
专业选择
可能很多选择本科读数学的人都有这种经历，在高中的时候就有一种所谓的偏科，会把大量的时间花在数学物理上面，而且参加各种竞赛也能够顺利拿奖，对于语文英语就是得过且过。拿竞赛奖状之后，要么就开始保送各个高校的数学系，要么就开始准备高考。
高考完了之后面临着选专业的问题，对于一个高中生来说，怎么可能知道大学里面的专业是学什么，几乎就是瞎选，高中擅长学什么就开始选择什么。
02
本科生涯
刚进入大学的时候，身边的人要么是竞赛保送的，要么就是高考高分考进来的。在第一年的时候，基本上就开始分成两类人在走。一种是天天努力学习的，一种是几乎不学习的，就靠考试前突击过日子。
也不知道是不是高中生活的延续，在第一年的时候非常认真，在数学分析和高等代数上面花费了大量的时间，也做了不少的数学习题。在C++之类的重要课程上面继续不花时间，继续着自己高中的偏科日子。
这件事说来也巧，正好在大一的数学分析习题课上认识了张老师。有一次碰巧遇到张老师，他给我说打算下个学期办一个讨论班，讲一下他最近关注的一些书籍和论文，并且说这些书籍只需要大一上学期的内容就可以了。当时听上去很有吸引力，就满口答应下学期开始着手这件事情。
到了第二个学期，讨论班果然开始了，再加上廖老师，当时也凑了几个努力学习的同学，就开始读张老师想读的那本书“One Dimensional Dynamics”。
第二个学期的时候，基本上都是张老师在讲，坚持了一个学期，终于把那本书的第一章差不多讲完了。其实当时自己也就是在下面听，但是什么都没听懂，听来听去就感觉在用Lagrange中值定理，确实只用了大一数学分析的内容。说实话，坚持读一本书是非常困难的，尤其是一边还要写论文，还要教学。
到了本科第二年的时候，张老师就问我们几个学生，有没有兴趣自己试着讲，当时可能也是想挑战自己一下，就自告奋勇上去讲了一次，虽然自己也只有大一的知识储备量，但是读那本书，一行一行看其实只要花时间还是没问题的。在下面自己花了很多时间，准备了一次，因为都是涉及一些基本的计算，最多涉及到级数求和，所以第一次试讲就非常成功。
这样就在无形中极大的激励了自己，坚持这个讨论班坚持了两年。后来到了第三年结束的时候，正好有一个研究生的暑期学校，在尤老师的大力帮助下，推荐我跟着那些研究生一起学习，听一些讲座。就在当时的暑期学校上面认识了现在的老板。
03
PHD生涯
NUS的第一个学期就收到一篇90页的论文，不过论文里面有个巨大的漏洞，希望自己能够找出来并且把它补上。第一个学期选择了太多的课程，分析，代数，拓扑，PDE，导致自己也没啥时间弄这篇论文。
第一个学期的唯一收获就是把博士生资格考试顺利通过了。到了第二个学期，开始读论文了，虽然自己之前也读过论文和相应的书籍，但是给PHD的课题怎么可能那么容易就完成。
如果那个漏洞那么容易就补上了，怎么可能十几年没人做那个问题。查一下网上的资料，2006年有人做出了类似的一个问题，不仅顺利发了Annalsof Mathematics，还给了国际数学家大会45分钟的报告。相比之下，可想而知自己的这个博士课题有多难。
在这个时候自己也没多想，也没想过换一个容易一点的问题，总想着自己一定能够做出来，然后当时办公室位置紧张，没分到办公室座位，于是自己天天都去图书馆呆着，就带着自己的这篇论文，在图书馆里面一页一页的看。
后来到了第三个学期，就要开始博士资格考试的口试了，需要做一个关于自己的研究方向的一个报告，然后系里面会让一些老师来给博士生打分，不行的话就要重新再来一次。
在阅读一开始的那篇90页的论文的时候发现需要另外一篇文章作为基础，于是博士资格考试的内容就以另一篇文章作为主要的框架。这个时候我又再次查一下这篇新的文章，同样是发在Annalsof Mathematics上面，而且自从1996年之后，关于这个课题也是几乎没有新的结果出现。
这个时候开始觉得压力很大了，就去找老板，老板说：课题不能轻易换，你要坚持做。不过这次的资格考试还算顺利，口试一次通过。但是过了之后并不是轻松的开始，反而带来了更大的问题。如果博士资格考试不通过的话还可以拿一个硕士学位走人，但是通过了考试就没有选择了，只能争取博士毕业。
苦海无涯，回头已经看不到岸了，只能够竭尽全力地游到对岸。游到对岸就意味着自己需要把论文的课题搞定，需要把一个非常难的问题攻克。于是这个时候就产生了巨大的心理压力，非常痛苦的过了一年。
2013年4月份的时候，一件事情直接把自己从痛苦中敲醒，那就是年过半百的张益唐在孪生素数领域做出了巨大的贡献，并且向Annalsof Mathematics投稿，三周后被编辑确认无误并且接收。他的生平经历对年轻人来说是一个非常大的鼓励，至今记得他在youtube上面接受采访的时候与记者的对话。“唐诗宋词？我就说两句，不想说它的出处。庾信平生最萧瑟，暮年诗赋动江关”。
看过他的生平事迹都清楚他为什么喜欢这两句诗，因为这两句诗正是他一生的写照。做数学研究的人都知道，过了45岁几乎就不太可能有什么特别大的突破了，45岁以后的体力和精力和20多岁的时候相比都严重下降，很少有人在接近60岁的时候能够完成华丽的逆转，但是张益唐做到了，用自己的实际行动完成了质的飞越。回到自己，在PHD的期间确实走了不少的弯路，领略了很多艰辛和苦涩。正是张益唐成功的事迹激励了自己，只要努力就能够让自己顺利毕业。
再次回到自己的科研上。痛定思痛，决定努力一下重新攻克之前的问题，此时已经是PHD的第三年都快结束了，自己还没有任何结果，办公室的哥们都已经三四篇文章了，师门的师兄们也已经有了自己的paper，而且老板明确表态，毕业的标准就是把自己的论文发表在Ergodic Theory and Dynamical Systems这个杂志上。
对于当时没有任何结果的自己，压力山大。于是，为了让自己能够顺利毕业，就逐渐开始奋发图强，再次从那篇错误的文章入手，重新从别的角度来审视那篇文章，看看能够从哪些地方寻求突破。在那篇文章里面，作者着重于研究一个叫做Fibonacci的多项式，在和老板的交流中，发觉可以把Fibonacci多项式做出推广，以寻求新的结果。
终于，在PGP宿舍独立工作一个月之后，搞出了自己毕业论文的第一步，也就是Real Bound Theorem。当时总算感觉放松了一下，可是告诉了老板这个结果之后，悲剧再次发生。被老板告知有两个人已经差不多写好了一个的结果（后来我知道他们发表在了Nonlinearity这个杂志上），这就意味着自己不可能凭借这个结果拿到博士学位，需要把原来的问题攻克才能毕业。这个时候PHD的第三年已经结束。
到了第四年，需要轮到自己真正攻克问题了，这个时候必须要做出来才能毕业，没有任何选择的余地，正所谓“置之死地而后生”。导师给的论文课题是关于实系数多项式的迭代，这里c是实数，是偶数。在这个问题下，没有任何额外的条件，这和那些每次科研遇到障碍就开始加条件的方向截然不同。
做科研好比一支部队在打仗，不同的人就有不同的风格。有的人就喜欢在一个鬼都打不到的地方乱放枪，把别人的论文改改条件就变成自己的文章，甚至连自己的条件是不是相互矛盾都不知道。但是有的人立志就是要做难题，这个时候就好比这支部队接到的任务是攻下山头，首先就必须打掉山头上面的碉堡，就需要集中所有的人力和火力来攻取，就必须集中自己的注意力，排除其他所有障碍物。
当时为了集中注意力，在第四年的时候自己每天晚上都在系大楼的四楼教室里面呆着，因为安静并且没有人来打扰，特别适合思考问题。除了每天晚上到四楼独立思考问题，每周还要和老板讨论问题，不停的看看有没有新的办法来做原来的问题。单调的生活就这样持续了PHD的第四年。
到了PHD的第四年快结束的时候，终于找到方法来突破原来的问题，至少看起来成功的希望非常大。不过悲剧再次发生，用这个方法来研究问题有一定的局限性，是不够完美的，心情再次从大喜到大悲，感觉离毕业又再次远了一步。不过这个时候要是放弃了就前功尽弃了，必须努力向前，作为一个第四年的PHD已经没有时间用来彷徨了。经过两周的不懈努力，终于做出来了，这个时候感觉离学位再次进了一大步。
04
经验总结
漫长的故事讲完了，这个时候希望那些觉得自己在数学方面很有天分或者觉得对数学很有兴趣的本科生们长一个心眼，学数学考高分离真正的科研还差得远。一个崭新的科研题目在所有的PHD面前都是人人平等的，都是未知的领域，需要PHD花很多的时间去研究和探索。下面列举的是一个博士生做数学科研需要注意的一些基本事项，当然我也只能够在自己的领域里面说说，别的专业的博士其实和数学还是差挺多的，可以作为参考。
(i)极强的心理素质：之前高中，本科遇到的练习题，努力一下，和同学讨论一下，说不定都能够搞出来，花上几个小时，几天，甚至几周，基本上就能够搞定。但是对于一个博士生来说，没有任何课题是在几天，几周，甚至几个月之内就能够搞定的。以前在高中和本科的时候都能够不停地做出数学难题，于是就能够给人带来快感，让人越来越有动力，越来越想研究数学。
但是在读博士的过程中，这种感觉肯定会烟消云散。取而代之的是长期做不出来问题，读论文带来的痛苦，思考问题带来的绝望。无论一个学生的本科成绩多么的优秀，在有科研经验的老师面前，真的是不算什么。被老板bs很正常，科研成功一次就可以毕业了，甚至就能够功成名就了（参见张益唐）。
在这个非常漫长的四年，五年，甚至六七年的岁月里，一个学生要是没有这点心理素质就不要混下去了。正如图片所示：读博士之前一直以为读博士努力下去就会一帆风顺，按时到达。结果实际的情况确是第二种，道路崎岖不平，各种意想不到的艰难困苦，只有克服了这些困难，才能够在PHD这条路上走下去。
(ii)从开始PHD的那一刻开始，就必须忘记之前自己取得的所有成绩，一切从零开始。以前很轻松的写一下本科毕业论文就可以获得优秀，能够讲讨论班，甚至足够在所谓的SCI杂志上发表，这些只能够说明在本科生当中属于佼佼者。但是开始读博士之后，这些就变得不算什么了。
好比你一开始住在五层小楼里面，身边都是平房，自然显得很强。但是后来随着自己的成长，坐标系也就悄悄的发生了变化，身边的人也跟着变化，对手已经不是本科生，而是从本科生中间选出来的优秀者，难度显而易见的增加了许多。
(iii)对于一个普通的博士生来说，自己想独立搞科研几乎是不可能的，想脱离老板而独立搞科研完全是自寻死路。一开始读博士的时候由于本科的习惯，总自以为自己的想法很牛逼，很可能做出大东西，后来发现这是根本不可能的。作为老板，在科研领域已经打拼了十几年，在经验和能力上面通常都在博士生之上。
通常一个博士生自己提出一个东西，要么是别人做过了，要么是根本没有什么意思，没有人在乎。如果让博士生自己选择论文课题，要么选择得太难，根本不可能完成，要么就是别人已经做过了，根本没有继续研究的必要。对普通的博士生来说，奉劝大家，基础不够就老老实实从底层做起，从老板推荐的论文和书籍一点一点的慢慢开始，千万不要想自己去选择一些论文课题来做。
往往一个领域有着自己非常难的问题，通常这些问题是不能够直接留给博士生来做的。这个时候不能够从正面去攻取这些题目，需要有一定程度的迂回，而这些迂回往往依赖于导师在本领域摸爬滚打多年的经验。
此时导师给学生推荐的书和论文会从侧面帮助学生理解问题，研究问题甚至解决问题提供非常大的帮助。在这个过程中，导师很可能根据学生的科研进度提出阶段性的题目，以降低学生科研的难度。通常来讲，老板提出的问题和想法，博士生有的时候哪怕只是取得了部分的结果和进展，都会远远高过自己独立选择的题目。
(iv)在博士的生涯中，曾经见过有的老板会帮助学生写论文，甚至送论文给学生，但是并不是所有的老板都会做这些事情。博士生自己做不出来问题，很多老板通常是不会给予非常直接的帮助的，这个时候就需要博士生自己想办法来解决问题，克服障碍。在学校里面，通常的观点是：写不出论文是学生的问题，不是老板的问题。
对于一个数学系的博士生来说，即使你的论文想法已经非常成熟，细节全部都能够过去，要把它写成一篇能够发表的论文也是一条非常艰难的路，而且这条路也很不好走。
之前本科的时候，一般的关注点都是学生学了多少东西，懂得多少东西。到了博士阶段，已经没有人在乎学过多少东西，在乎的是做出了什么结果，能够发表什么样的文章。要发好的杂志，就需要一个好题目，这个问题通常都是难题。在这些问题前面，每个人都是平等的，都是一个一个独立的灵魂在奋斗。
此时此刻就需要博士生自己克服很大的心理障碍，想毕业就要一直坚持做自己的课题，坚持下去才能够知道自己能不能够成功，才能够知道自己究竟能够走多远。在这个过程中，根本不敢去想能够走到哪一步，只能够咬紧牙关坚持走下去。
科研这种只有一个人在走的路十分考验一个人的忍耐力和承受力。跟别的事情不一样，比方考试什么的，都是大家一起混，怎么混一般都不至于混到最后。但是科研这种事情，就和一个人到海里面游泳一样。游着游着，猛一回头，尼玛就只有自己一个人在游泳，而且已经看不到岸了，只能够一个人努力往前游。做科研难题的时候，只有自己能够帮助自己，只能够一个人竭尽全力地往前走。
(v)对于数学系的人来说，由于不需要像别的专业一样做实验，所以时间非常自由，除了干一些教学工作，剩下的时间都是自由安排。这种自由职业者如果时间安排不当，很容易产生拖延症，陷入PHD的时间陷阱而不能自拔。对于搞纯数学的PHD来说，一个PHD的课题绝对不是在几个月之内就可以完成的，一定会有一段时间没有任何的进展和突破。
这个时候由于要克服自己的心理压力，很容易在自己的科研课题上面产生拖延症，好比牛顿第一定理，在没有外力的催动下，自己的课题一定会停滞不前，能毕业日期也就离自己越来越遥远。如果出现这种问题，需要及时克服自己的心理障碍，战胜拖延，免得造成更大的困扰。
最后一条，如果一个人在本科或者硕士毕业的时候在工作和读博之间摇摆不定的话，这个时候选择工作基本上是正确的。如果本科或者硕士论文都写得要死要活的学生，是非常不适合继续读下去的。哪怕博士生涯刚刚开始，这个时候立刻逃离也是非常明智的决定。做科研的时候需要把它当成一份事业，而不是当成一份工作。世界上有很多的工作可以做，为什么选择一条那么艰难的路来走呢。
其实，要做一番事业，无论是任何领域的，都需要一个人不计回报的付出，不能够像干工作的时候那样计较加班费和休息时间。只要一个人在做的是自己的事业而不只是工作，无论这份事业本身能够带来多少的收入，无论在别人的眼光里面这怎么也算不上一个成功者的案例，在坚持做这个事业的过程中，就已经成功了。看着张益唐的视频，想想也觉得“庾信生最萧瑟，暮年诗赋动江关”一件非常幸福的事情。
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