数学 | 从“斐波那契数列”与“黄金分割”看数学的统一美
日期：2019年1月26日
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来源：算法与数学之美
《达芬奇密码》以这样的悬念开场：临近午夜，法国卢浮宫年迈的馆长被人杀害在艺术大画廊的地板上。在人生的最后时刻，馆长脱光了衣服，用自己的身体摆成达芬奇的名画《维特鲁威人》的样子，并在尸体旁边留下了一个令人难以琢磨的密码：13-3-2-21-1-1-8-5，这些看似无序的数字，密码专家索菲-奈芙一看就明白，实际它可以按照递增排序为1-1-2-3-5-8-13-21，这正是斐波那契数列，是数学史上的一个著名数列。小说借斐波那契数列和另外两个隐语（字母重排后，一句是莱昂纳多.达.芬奇，一句是蒙娜丽莎），制造重重悬念，使读者欲罢不能。
达芬奇、维特鲁威人这几个词，都以高频率出现在上一期的数学故事—“‘黄金分割’的应用”中，但它们不是建立起黄金分割和斐波那契数列的桥梁，它们都只是这两个规律的应用和体现而已。
对斐波那契数列的描述有多种方法、多个版本，我们这里引用《珠算原理》（Fibonacci，1202年，出版于意大利）中对斐波那契数列的描述。
假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，并且兔子不会死亡，问：一年后会有多少对兔子呢？
如上图所示，空心圆圈代表没有成熟的一对兔子，黑色实心圆圈代表成熟的一对兔子，可以计算出由兔子数量(对)组成的数列为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...
斐波那契数列的另一种描述为：若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。且这个数列中的数，如1,2,3,5,8,13,21,34,55等都被称为斐波那契数。
既然神似黄金分割了，那生活中也必定无处不在斐波那契的身影了。看看这些可爱的花朵的花瓣的数量，都是斐波那契数。大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契(Fibonacci)数。
在中国，梅花有着类似的象征意义。民间传说梅花五瓣代表着五福。民国把梅花定为国花，声称梅花五瓣象征五族共和，具有敦五伦、重五常、敷五教的意义。但是梅花有五枚花瓣并非独特.事实上，花最常见的花瓣数目就是五枚，例如与梅同属蔷薇科的其他物种，像桃、李、樱花、杏、苹果、梨等等就都开五瓣花。常见的花瓣数还有：3枚，鸢尾花、百合花(看上去6枚，实际上是两套3枚)；8枚，飞燕草；13枚，瓜叶菊；向日葵的花瓣有的是21枚，有的是34枚；雏菊的花瓣有的是34、55或89枚。而其他数目花瓣的花则很少。
兰花、茉利花、百合花有3个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣。
仙人球也是如此。
大自然里一些花草长出的枝条也会出现斐波那契数，有一种叫着“喷嚏麦”（Sneezewort的直译，可能会像鲁迅指出的闹“牛奶路”Mikyway的笑话，希望懂植物学的读者赐以正确的中文名）的花草，新的一枝从叶腋长出，而另外的新枝又从旧枝长出来，老枝条和新枝条的数目的和就像那兔子问题一样。
仔细观察向日葵的花，可以看到，向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数。
还有下面的松塔和菜花结构中的斐波那契元素。
这一模式几个世纪前已被注意到，此后曾被广泛研究，但真正满意的解释直到1993年才给出。这种解释是：这是植物生长的动力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角是黄金角——137.50776度；这使种子的堆集效率达到最高。
无论是上面的松果的结构，还是下面的向日葵和菠萝的结构中，都蕴含着同一个元素—斐波那契螺旋线。
如果顺时针与逆时针螺旋的数目，是斐波那契数列中相邻的2项，可称其为斐波那契螺旋，也被称作黄金螺旋。
不仅是自然界中纯天然的东西有这么多的斐波那契元素，经济学中也有很多的斐波那契元素，如股票指数增减的“波浪理论”：
① 完整周期3上2下（或5上3下或3上5下），常是相继两斐波那契数；
② 每次股指增长幅度（8，13等）或回调幅度（8，5），常是相继两斐波那契数。
1934年美国经济学家艾略特在通过大量资料分析、研究后，发现了股指增减的微妙规律，并提出了颇有影响的“波浪理论”。该理论认为：股指波动的一个完整过程（周期）是由波形图（股指变化的图象）上的5（或8）个波组成，其中3上2下（或5上3下），如图，无论从小波还是从大波波形上看，均如此。其中的2、3、5、8均系斐波那契数。
同时，每次股指的增长幅度常循斐波那契数列中数字规律完成。比如：如果某日股指上升8点，则股指下一次攀升点数为13；若股指回调，其幅度应在5点左右。显然，5、8、13为斐氏数列的相邻三项。
因此，可以说，斐波那契以他的兔子问题，猜中了大自然的奥秘，而斐波那契数列的种种应用，是这个奥秘的不同体现。
那说了半天了斐波那契数列和黄金分割有着统一美，到底是哪里统一了呢？最后交待一下。
首先，斐波那契数列的通项公式是
一个正整数序列的通项，竟然可以用带有无理数的式子表达，这是十分意外的结果。而这两个无理数更是眼熟吧，不就是黄金分割率和其倒数嘛。
第二，斐波那契数列相邻两项的比值的极限值为黄金分割率的倒数，即
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