鞅与停、赌徒必胜策略与生男生女问题

算法数学之美

日期：2019年2月12日

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来源：Mather King

鞅的英文是martingale，是一种马具，据称是a strap with a strange form: it is a long leather belt that bifurcates, at one end, into two strips of the same length. 具体样式见下图。鞅在中文中是『马颔缰』，就是这样意译的。

概率论中的martingale，名字来源于同名的赌博方法，简单来说就是赢了收手，输了加倍。只要输光之前能赢一把，就能赚钱（虽然相对于赌本不多）。而赌博中的martingale，据说名字来源于普罗旺斯语，意思是to play in an absurd and incomprehensible way。

所以概率论中的martingale，其实和马具没有关系，也许不该翻译成马。硬要意译，恐怕应该叫『谬』(absurd)。

下面定义鞅

考虑一个filtration , 即一个递增的域序列。然后考虑一列随机变量。假设 (i)  。(ii)每个对可测。 (iii) 。

此时称作一个（对可测的）鞅。

前两个条件都好理解，第三个改写一下就是. 就是说这个过程的增量对上一个域做可测投影，是0. 对第三个条件再取期望，得到. 所以鞅描述了某种『公平过程』。

注意之前所有都对可测，比大，所以不止由决定，还可能依赖于更早的。所以鞅可以不是马氏过程。参见鞅过程与马尔科夫过程是什么关系？ - Lillian Song 的回答 - 知乎。

如果把上面的第三个条件改成，则成为下鞅(submartingale)，反之称上鞅(supermartingale)。

不难看出，下鞅的期望递增，上鞅的期望递减。所以问题来了：这名字是不是瞎起的？

我认为比较合理的解释是：这和调和函数（harmonic function）有关。

一个函数到的函数称作harmonic，如果. 如果，称作subharmonic。如果，称作superharmonic。

一个harmonic函数里面放个n维布朗运动，是一个martingale。一个superharmonic函数里面放个n维布朗运动，是个supermartingale。一个subharmonic函数里面放个n维布朗运动，是个submartingale。考虑到布朗运动和鞅在历史上的密切关系，通过调和函数命名上下鞅还是挺合理的。

下一个问题是，subharmonic是大于等于，superharmonic是小于等于，这名字是不是瞎起的？

一个解释是，如果有superharmonic函数f，harmonic函数g，subharmonic函数h，且他们在一个区域边界上相等，则在区域内f大于等于g大于等于h。

考虑一个随机变N,取值范围是.如果对每个，都有,则称N是一个停时。上面的可以换成.

假设N是一个赌徒停止赌博的时刻。停时是说，赌徒在n次赌博之后，亦即知道了前n次赌博的所有信息后，知道是否不赌了。这就是停时名字的来源。比如说，赌徒决定连赢三把就不赌了，停止条件能够由当前信息决定，所以是个停时。如果赌徒决定，如果下一把会输，就不赌了，就不是个停时。因为当前信息决定不了是否停下。

对于两个停时S和T，和都是停时，其中是取大，是取小。特别地，由于常数总是个停时，是个停时。

对于停时N，可以定义在时刻N的信息，即. 如果事件A满足，则A在中。特别地，N对可测。

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我们关心的，是对于一个赌博系统（比如掷硬币），考虑一个事先设定好的赌博策略（比如输了加倍），以及对应的停止条件（比如输光了赌本就不赌了），停止时有多少钱。

赌博系统加上策略，假设是个鞅。停止条件是个停时N(要求以概率1小于无穷)。那么就是考虑或的值。

首先有个定理，是个鞅，有。也就是说，如果强制在某个固定时刻结束赌局，停止时的钱的期望和一开始一样。特别地，如果停时有界，那么一定是不赚不赔，因为。

如果停时无界，那就比较复杂了。假设掷硬币，每次赌一块钱，赌本无限，首次赢钱后结束，那么停止时不赚不赔。但如果停止条件改成“手里的钱首次超过赌本”，那么结束的时候一定赚了一块钱。而且可以验证这个停时以概率1小于无穷。

关于需要的条件，有“可选停时定理”(optional stopping theorem)。

先定义一致可积鞅(uniformly integrable martingale)。如果，则称为一致可积鞅。

可选停时定理1：如果是个一致可积鞅，则成立。可以知道，如果的概率随下降足够快，那么条件成立。

这个条件比较难验证。有另一个较弱的版本。

可选停时定理2：假设有界，且N的期望小于无穷，则.

可以看出“手里的钱首次超过赌本”这个策略的用时期望是无穷，所以上述定理失效。

对于现实中的赌博，假设是个公平赌博（鞅）。由于赌徒和庄家赌本有限，有界成立。由于每次赌博的下注有最小单位（一个筹码），容易验证某一方破产的用时期望小于无穷。作为一个赌博策略，破产了就没法再赌了，所以停止条件肯定包含了破产，于是N的期望小于无穷。那么由于上述定理，。期望是不赚不赔，没有什么必胜策略。

对于生男生女，比如生男生女概率各50％，每个家庭都生到第一个男孩就不再生，那么产生的男女比例是多少？ 也是一样。如果策略是生到第一个男孩为止，那么可以用上述定理，停止时男女一样多。如果策略是生到男孩比女孩多一个，那么用时期望是无穷，不能用上述定理，而且停止时确实男孩比女孩多。

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