陶哲轩谈什么是好的数学
日期：2019年2月28日
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来源：数学和数学家的故事
本节选自《数学和数学家的故事》第4册，李学数编著，上海科学技术出版社。
我们都认为数学家应该努力创造好数学。但“好数学”该如何定义？甚至是否该斗胆试图加以定义呢？让我们先考虑前一个问题。我们几乎立刻能够意识到有许多不同种类的数学都可以被称为是“好”的。比方说，“好数学”可以指（不分先后顺序）：
好的数学题解（比如在一个重要数学问题上的重大突破）；
好的数学技巧（比如对现有方法的精湛运用，或开发新的工具）；
好的数学理论（比如系统性地统一或推广一系列现有结果的概念框架或符号选择）；
好的数学洞察（比如一个重要的概念简化，或对一个统一的原理、启示、模拟或主题的实现）；
好的数学发现（比如对一个出人意料、引人入胜的新的数学现象、关联或反例的揭示）；
好的数学应用（比如应用于物理、工程、计算机科学、统计等领域的重要问题，或将一个数学领域的结果应用于另一个数学领域）；
好的数学展示（比如对新近数学课题的详尽而广博的概览，或一个清晰而动机合理的论证）；
好的数学教学（比如能让他人更有效地学习及研究数学的讲义或写作风格，或对数学教育的贡献）；
好的数学远见（比如富有成效的长远计划或猜想）；
好的数学品位（比如自身有趣且对重要课题、主题或问题有影响的研究目标）；
好的数学公关（比如向非数学家或另一个领域的数学家有效地展示数学成就）；
好的元数学（比如数学基础、哲学、历史、学识或实践方面的进展）；
严密的数学（所有细节都正确、细致而完整地给出）；
美丽的数学（比如拉马努金的那些令人惊奇的恒等式；陈述简单漂亮、证明却很困难的结果）；
优美的数学（比如保罗·厄多斯的“来自天书的证明”观念通过最少的努力得到困难的结果）；
创造性的数学（比如本质上新颖的原创技巧、观点或各类结果）；
有用的数学（比如会在某个领域的未来工作中被反复用到的引理或方法）；
强有力的数学（比如与一个已知反例相匹配的敏锐的结果，或从一个看起来很弱的假设推出一个强得出乎意料的结论）；
深刻的数学（比如一个明显非平凡的结果，比如理解一个无法用更初等的方法接近的微妙现象）；
直观的数学（比如一个自然的、容易形象化的论证）；
明确的数学（比如对某一类型的所有客体的分类；对一个数学课题的结论）
其他。
如上所述，数学的质量这一概念是一个高维的概念，并且不存在显而易见的标准排序。我相信这是由于数学本身就是复杂和高维的，并且会以一种自我调整及难以预料的方式而演化；上述每种质量都代表了我们作为一个群体增进对数学的理解及运用的一种不同方式。至于上述质量的相对重要性或权重，看来并无普遍的共识。这部分地是由于技术上的考虑——一个特定时期的某个数学领域的发展也许更易于接纳一种特殊的方法；部分也是由于文化上的考虑——任何一个特定的数学领域或学派都倾向于吸引具有相似思维、喜爱相似方法的数学家。这同时也反映了数学能力的多样性：不同的数学家往往擅长不同的风格，因而适应不同类型的数学挑战。
我相信“好数学”的这种多样性和差异性对于整个数学来说是非常健康的，因为这允许我们在追求更多的数学进展及更好的理解数学这一共同目标上采取许多不同的方法，并开发许多不同的数学天赋。虽然上述每种质量都被普遍接受为是数学所需要的质量，但以牺牲其他所有质量为代价来单独追求其中一两种却有可能变成对一个领域的危害。考虑下列假想的（有点夸张的）情形：
一个领域变得越来越华丽怪异，在其中各种单独的结果为推广而推广，为精致而精致，而整个领域却在毫无明确目标和前进感地随意漂流。
一个领域变得被令人惊骇的猜想所充斥，却毫无希望地在其中任何一个猜想上取得严格意义上的进展。
一个领域变得主要通过特殊方法来解决一群互不关联的问题，却没有统一的主题、联系或目的。
一个领域变得过于枯燥和理论化，不断地用技术上越来越形式化的框架来重铸和统一以前的结果，后果却是不产生任何令人激动的新突破。
一个领域崇尚经典结果，不断给出这些结果的更短、更简单以及更优美的证明，却不产生任何经典著作以外的真正原创的新结果。
在上述每种情形下，有关领域会在短期内出现大量的工作和进展，但从长远看却有边缘化和无法吸引更年轻的数学家的危险。幸运的是，当一个领域不断接受挑战，并因其与其他数学领域（或相关学科）的关联而获得新生，或受到并尊重多种“好数学”的文化熏陶时，它不太可能会以这种方式而衰落。这些自我纠错机制有助于使数学保持平衡、统一、多产和活跃。
现在让我们转而考虑前面提出的另一个问题，即我们到底该不该试图对“好数学”下定义。下定义有让我们变得傲慢自大的危险，特别是，我们有可能因为一个真正数学进展的奇异个例不满足主流定义而忽视它。另一方面，相反的观点即在任何数学研究领域中所有方法都同样适用并该得到同样资源，或所有数学贡献都同样重要也是有风险的。那样的观点就其理想主义而言也许是令人钦佩的，但它侵蚀了数学的方向感和目的感，并且还可能导致数学资源的不合理分配。真实的情形处于两者之间，对于每个数学领域，现存的结果、传统、直觉和经验（或它们的缺失）预示着哪种方法可能会富有成效，从而应当得到大多数的资源；哪种方法更具试探性，从而或许只要少数有独立头脑的数学家去进行探究以避免遗漏。比方说，在已经发展成熟的领域，比较合理的做法也许是追求系统方案，以严格的方式发展普遍理论，稳妥地沿用卓有成效的方法及业已确立的直觉；而在较新的、不太稳定的领域，更应该强调的也许是提出和解决猜想，尝试不同的方法，以及在一定程度上依赖不严格的启示和模拟。因此，从策略上讲比较合理的做法是，在每个领域内就数学进展中什么质量最应该受到鼓励做一个起码是部分的（但与时俱进的）调查，以便在该领域的每个发展阶段都能最有效地发展和推进该领域。比方说，某个领域也许急需解决一些紧迫的问题；另一个领域也许在翘首以待一个可以理顺大量已有成果的理论框架，或一个宏大的方案或一系列猜想来激发新的结果；其他领域则也许会从对关键定理的新的、更简单及更概念化的证明中获益匪浅；而更多的领域也许需要更大的公开性，以及关于其课题的透彻介绍，以吸引更多的兴趣和参与。因此，对什么是好数学的定义会并且也应当高度依赖一个领域自身的状况。这种定义还应当不断地得到更新与争论，无论是在领域内还是通过旁观者。如前所述，有关一个领域应当如何发展的调查，若不及时检验和更正，很有可能会导致该领域内的不平衡。
上面的讨论似乎表明评价数学质量虽然重要，却是一件复杂得毫无希望的事情，特别是由于许多好的数学成就在上述某些质量上或许得分很高，在其他质量上却不然；同时，这些质量中有许多是主观而难以精确度量的（除非是事后诸葛）。然而，一个令人瞩目的现象是：上述一种意义上的好数学往往倾向于导致许多其他意义上的好数学，由此产生了一个试探性的猜测，即有关高质量数学的普遍观念也许毕竟还是存在的，上述所有特定衡量标准都代表了发现新数学的不同途径，或一个数学故事发展过程中的不同阶段或方面。
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