线性相关和秩的物理意义

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日期：2019年3月4日

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线性相关和秩的物理意义

什么是线性相关? 这两个矢量(计算机里面用数组表示)v1和v2，如果v2可以从v1的某种乘除运算(幅度拉伸，方向转换)，得到v2+K*v1=0，那么我们认为v2和 v1线性相关。例如，两个直线方程，x+2y=0和2x+4y=0，他们的系数向量是(1,2)和(2,4)，显然，他们是同一条直线。也就是说 (1,2)和(2,4)是线性相关的。同理，对于3维的情况，x=0,y=0,x=y这3个平面相交于Z轴，我们称这3个平面关于Z轴线性相关，3个平面 方程的系数向量之间可以从其中的任意两个得到另外一个(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0)。

说的抽象一点，线性相关就是，对于N个m维向量v1-vN，存在不全为0的一个系数向量K使得 v1*k1+v2*k2+v3*k3+...+vN*kN=0。换句话说，其中的某些向量，可以通过其他向量，对于其系数的四则运算和组合得到。如果3个 向量v1,v2,v3是线性无关的(显然，v1,v2,v3都不是全0向量)，那么v1+v2,v2+v3,v1+v3这三个向量之间是什么关系? 其中的任何一个不能通过其他的两个进行4则运算得到，所以仍然是一组线性无关的向量。

Ax=b的解总是不多于Ax=0的解。这个很好理解: 例如，Ax=0如果是对应3维方程组的话，就是3个平面在3维空间的交点。如果不是交与一条线，也不重合，那么就交与原点(0,0,0)。好了，对于 Ax=b的情况怎么理解呢? 也就是这3个平面都做了一定的平移。那么如果平移的当，交点和原来一样，只是平移到了(a,b,c)，但是也有可能这3个面平移的不正好相交，变成无解 了。这个分析的过程对应于矩阵的增广矩阵分析。如果矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，那么相当于高斯消元法的过程出现了0=x(x非0)这样的谬，也就是方程 组无解(没有交点)。如果两个秩相等，就相当于解的数量和原来一样。

那么，怎么理解秩，通解和特解呢? 还是拿3维平面举例子(3维方程组)，如果系数矩阵的行列式为0，说明可以通过消元法去掉至少一个方程，就像上面说的x=0,y=0,x-y=0三个平面 的情况一样，x=y可以通过前面两个方程相减得到。系数矩阵的非相关向量个数=2，我们称秩(rank)=2。好了，这个方程组的解有无数个(整个Z 轴)，写成通解形式就是

(x,y,z)=k(0,0,1)，k是任意实数。如果方程组是Ax=b呢，那么交点相当于平移到了(a,b,c)，通解形式就是 k(0,0,1)+(a,b,c)，这里(a,b,c)是特解，表示平移的基点。怎么求这个特解? 随便代入一个x的值x0，求出y和z的对应值，但是结果(x0,y0,z0)不等于(a,b,c)，不要紧，k(0,0,1)填补了(x0,y0,z0) 和(a,b,c)之间的差。

继续推广，前面说的Ax=b都是齐次线性方程组，如果A是非齐次的(m*n)呢，例如，有4个变量? 那么如果r(A)=2，说明只有两个线性无关的矩阵向量，通解基的个数=max(m,n)-r(A)。这里，通解基个数=4-2=2。所以得到两个方程的 时候，代入(x1,x2)=(1,0),(0,1)两个向量，求出通解k1(x0,y0,1,0)+k2(x1,y1,0,1)。当然，代如 (x3,x4)=某个向量组合，效果一样，因为线性相关性是对称的。最后，求特解，代入一个任意的(x1,x2)组合求出特解(x,y,z,L)。再次推 广，Ax=B，B也是一个矩阵，有解吗? 只要保证r(系数矩阵)=r(增广矩阵)就可以了，也就是保证高斯消元的过程，方程两边不出现0=非0的悖论。

好了，为了说明线性相关，秩，通解之间的关系，我举个例子。这个例子是线性代数的常见证明题：
题目：已知A是m*n的矩阵，秩r(A)=m，存在矩阵使得AB=0有解，通解矢量个数为n-m。求证，对于任何矢量a使得Aa=0，那么必然有一个矢量b使得a=Bb。

怎么证明呢? 要求证的东西其实就是，a可以表示为B的列向量的某种线性组合->也就是求证a总是可以由B的列向量线性表示。那么既然a是Ax=0的一个解，那么 就要求B的列向量必然是Ax=0的通解向量组成的矩阵，那么必然有AB=0的解的个数=n-r(A)=n-m，符合题设。倒过来写就是证明的过程。
求线性方程组通解的缺点: 求秩的过程依然用到了高斯消元法，没有对应的计算机方法，全靠人为观察。而且很多实际应用的情况下，方程组是没有精确解的，根本求不出秩，为了求得近似解，要引入奇异值分解的方法，而这个方法又引出了：特征矩阵，特征值，特征向量。

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