Leibniz 如何想出微积分？（一）

算法数学之美

日期：2019年3月5日

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来源：算法数学之美

• 一、引言

• 二、生平简述

• 三、伟大的梦想

• 四、差和分学：从 Pascal 三角到 Leibniz 三角

• 五、Leibniz 如何看出微积分学根本定理？

• 六、结语

一、引言

Leibniz（1646～1716）在1714年发表一篇文章叫做 "Historia et origo calculi differentialis"（即《微分学的历史与根源》），简述他发明微积分的整个故事，开头就这样写着：

对于值得称颂的发明，了解其发明的真正根源与想法是很有用的，尤其是面对那些并非偶然的，而是经过深思熟虑而得的发明。展示发明的根源不光只是作为历史来了解或是鼓舞其他人，更重要的是透过漂亮的发明实例，可以增进吾人发明的艺术，并且发明的方法也可公诸于世。当代最珍贵的发明之一就是一门新的数学分析叫做微分学的诞生。它的内涵已有足够的解说，但是它的根源与动机却少为人所知悉。它的发明几乎已经有四十年的历史了……。

然后 Leibniz 说出他发明微积分的根源就是差和分学。在他的一生当中，总是不厌其烦地解释着这件得意的杰作。差和分与微积分之间的类推关系，恒是 Leibniz 思想的核心。从他的眼光看来，两者在本质上是相同的。一方面，差和分对付的是离散的有限多个有限数；另一方面，微积分对付的是连续地无穷多个无穷小。因此，微积分若少了差和分就好像「Hamlet」剧本少了丹麦王子一样。 

二、生平简述

Leibniz 在 1646 年诞生于德国的 Leipzig（莱比锡）。他父亲是莱比锡大学的法学与道德哲学的教授。当他 6 岁时，父亲就去世了。因此少年的 Leibniz 在学习的路途上几乎没有人指引他。这个小男孩所有的就是父亲留给他的一个书的世界。一位聪慧而早熟的孩子，在约 8 岁时就自学拉丁文，12岁时开始学希腊文。这使得他没有什么困难就可以使用父亲遗留下来的丰富的图书馆。泡在书海中，使他获得了广泛的古典作品之知识。他有能力阅读几乎所有的书，阅读变成终身的兴趣，这使他也读了大量的坏书。后来 Leibniz 写道：

当我还很年轻时，就开始认真思考各种问题。在15岁之前，我常常独自一个人到森林中去散步，比较并且对照 Aristotle 与 Democritus 的学说。

Leibniz 在15岁时进入莱比锡大学就读，选读了宗教、哲学及初等算术，也听了欧氏几何的课，不过对几何他并没有投入。他试图自己研读 Descartes 的解析几何学，但是对他来说似乎难一点。在17岁时，他提出一篇哲学论文，而得到学士学位。那年夏天他到 Jena 大学参加数学班，然后又回莱比锡大学攻读逻辑、哲学与法律，次年就得到硕士学位。20岁写出一篇优秀的组合学论文，但是由于他太年轻以致于莱比锡大学拒绝颁授给他博士学位。于是他转到 Nuremberg 的 Altdorf 大学，并且在1667年（21岁）得到哲学博士学位。

完成学院工作后，他进入政治界，服务于 Mainz 政府。在1672年到1676年这段期间，由于外交任务的关系，他被派往法国的巴黎。在巴黎他遇到了当时欧洲大陆最有学问的 Huygens（1629～1695），激起他对数学的热情，并且创造了微积分，使得在巴黎的四年成为他一生当中数学原创性的颠峰时期 (the prime age of creation)，比美于 Newton 的1664～1666年这段时间。

Leibniz 在1680年给朋友的信里，回忆他在1673年于巴黎遇到 Huygens 时所受到的启发，他说：

那时我几乎没有多少时间研读几何。Huygens 给我一本他刚出版的关于单摆的著作。当时我对于 Descartes（笛卡儿）的解析几何与求面积的无穷小论证法一无所知，我甚至不知道重心的定义。事实上，有一次跟 Huygens 讨论时，我误以为通过重心的任何直线必将面积平分为二，因为这对于正方形、圆形、椭圆形以及其它某些图形显然都成立。听到我的话，Huygens 开始笑了起来，他告诉我没有什么东西能够超越真理的。受到这个启发，我非常兴奋，在未彻底读过欧氏几何的情况下，我开始研读高等几何……。 Huygens 认为我是一个好的几何学家，比我自估的还要好。他又交给我 Pascal 的著作，要我研读。从中我学到了无穷小论证法、不可分割法以及重心的求法。

帕斯卡尔的著作给 Leibniz 打开了一个新世界，让他灵光一闪，突然悟到了一些道理，逐渐地经营出他的微积分理论。

Leibniz 在1676年回到德国，于 Hanover 地方当政府的顾问与图书馆长，长达四十年之久。虽然他的职业是律师与外交官，但是他多才多艺，对各方面的学问都有极浓厚的兴趣，并且以哲学家的身份闻名于世。由于他的极力鼓吹，柏林科学院才得以在1700年成立。

三、伟大的梦想

Leibniz 曾回忆说：

我小时候学逻辑，就开始养成对所学的东西作挖深的思考习惯。

他一生持久而不变的目标是追寻一种普遍的语言 (universal language) 与普遍的方法，使得可以统合地处理各式各样的问题。研究 Leibniz 的学者 J.E. Hofmann（1899～1972）说：

Leibniz 热情地，全心全力地收集与吸收能够到手的所有知识，然后给予新的大综合 (grand new synthesis)，变成统一的整体。

Leibniz说：

我有满脑子的主意 (ideas)，如果能有更厉害的人深入去经营，将他们美妙的灵心与我的劳苦结合起来，会是很有用的。

他在1666年（当时20岁）写出《组合学的艺术》(Art of combinatorics) 之论文。在前言中他预测这门新知识可以延拓应用到逻辑、历史、伦理学、形上学，乃至整个科学。他又说：

假设我们可以用一些基本的字来表达人类的思想，因此可以想象有一系列的字，各代表了简单的概念，那么任何复杂的概念都可以用这些字组合起来。从而奇妙的「发明术」(the Art of invention) 就变成可能了：即所有可能的概念与命题都可以机械地产生。据此我们不但可以探讨已知，而且也可以追寻未知，进一步从事更深刻的研究。

这个美丽的梦想在 Leibniz 心中盘据了一辈子。事实上，这只是古希腊哲学家 Dmocritus 所创立的原子论 (atomism) 的延伸与翻版。Democritus 主张宇宙的森罗万象最终都可以化约成原子及其在空间中的运动、排列与组合，这是多么美妙的想象。除了在物理学与化学上产生深远的影响之外，在方法论 (methodology) 上，也开启了分析与综合的方法。追究事物的组成要素就是分析法，反过来由组成要素组合出事物就是综合法。孙子在他的兵法中，说得更生动：

声不过五，五声之变，不可胜听也；
色不过五，五色之变，不可胜观也；
味不过五，五味之变，不可胜尝也；
战势不过奇正，奇正之变，不可胜穷也；
奇正相生，如循环之无端，熟能穷之哉！

Leibniz 也梦想着要建立一套普遍的数学，他称之为「Characteristica Universalis」，使得思想也可以化约成计算。他解释说：

如果有了这样的数学，那么我们探讨形上学与道德规范时，就可以如同几何学与分析学之论证推理一般。两个哲学家万一发生意见冲突，他们的争吵就不会严重过两个会计员，这时只需拿起笔，平心静气地坐下来，然后互相说（必要的话可找个证人）：让我们计算一下。

Leibniz 对于发明术一直深感兴趣，他说：

没有什么东西比看出发明的根源更重要，我认为这比发明出来的东西更有趣。

他计划写一本书来探讨发明术，可惜从未实现。发明术也许只是人类永远无法实现的一个梦想，好像是往昔的炼金术（发财梦）、炼丹术（长生梦）、永动机梦、炼预测未来术，以及近年来的炼基因术 (algeny) 一样。人类需要有梦想，今日所证实的，也许就是过去的梦想。炼金术与炼丹术促成了化学的诞生，而炼发明术呢？它也产生了非常丰富的成果，例如认知科学 (cognitive science)、发明的心理学、人工智能，大脑的思考机制之研究，Polya（1888～1985）关于数学的解题 (problem solving) 与猜测式推理 (plausible reasoning) 之精辟研究，以及近代科学哲学 (philosophy of science) 一改以往只重科学知识的「逻辑验证」(the logic of justification) 而变成以「发现的理路」(the logic of discovery)为中心，专注于知识的成长与演化机制 (the growth and evolutional problem) 之探讨，科学革命的结构之研究 (Thomas Kuhn)……等等。

Leibniz认为：

世界上的所有事情，都按数学的规律来发生。

这种深刻的「自然的数学观」比美于 Galileo（1564～1642）的名言：「自然之书是用数学语言来书写的」。据此，Leibniz 提倡世界的先定和谐论 (pre-estabilished harmony)，并且论证这个世界是所有可能世界中最好的一个 (the best of all possible worlds)，这是极值问题的一个应用。Einstein（1879～1955）说：

渴望窥探这个先定和谐的自然结构，是科学家不竭的毅力与恒心的泉源。

Leibniz 更有一颗敏锐的「妙悟灵心」，他早年就对这个世界感到惊奇而问道：

为什么是存有而不是没有呢？
(Why is there something instead of nothing?)

接着再问：

那里存在的是什么？
(What is there?)

对这些玄奥飘渺的问题深具兴趣，正是「哲学心灵」的明证。古人提出了许多答案，例如原子论，毕氏学派的万有皆数……等等。Leibniz 提出了单子论 (the theory of monads)，单子是构成宇宙的至微单位，反映着大千世界，这恰是微积分中无穷小概念的抽象翻版。

在方法论 (methodology)上，Leibniz 强调充足理由原理 (the principle of sufficient reason)：没有东西是没有理由的 (nothing is without reason)；以及连续性原理 (the principle of continuity)，他说：

没有东西是突然发生的，自然不作飞跃，这是我的一大信条。

连续性原理有广泛的解释，例如从差和分连续化变成微积分就是一个好例子。另外，数学家 Cauchy（1789～1857）根据连续性原理宣称，连续函数列的极限函数仍然是连续的，并且给出了一个错误的证明。后来才发现「均匀收敛」(uniform convergence) 必足以保证极限函数之连续性。

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