线性代数拾遗（四）：线性方程组的应用

算法数学俱乐部

日期：2019年12月20日

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来源:mengqi's blog

由于这段时间科研任务较重，加上 hexo 升级后总出现一些奇怪的问题，所以有一段时间没更新这个系列了，今天忙里偷闲补上一篇。

前面几章，我们回顾了一遍线性方程组和矩阵的一些概念。线性代数的最原始问题是解线性方程组，为了解决这个问题，我们引入了向量和矩阵，继而对矩阵的一些特性也进行了一番分析，然后又发现矩阵不但可以表示数据，也可以表示变换。然而，这些概念是如何应用于现实生活呢，实际生活中有哪些线性方程组的例子？这一章我们来介绍一些线性代数的实际应用。

总体上来说，牵涉到多个变量的相互约束，而且这些约束是“线性”的问题时，就有可能通过建立线性方程组从而得到解。

一、经济学例子

这是来自《线性代数及其应用》中的一个例子，很好地展示了线性代数在经济学中的应用：

比如一个国家包括煤炭、电力、钢铁三个部门，各部门都产出一定的资源，同时也消耗一定的资源（为方便讨论，本例中只考虑煤炭、电力、钢铁这三种资源，并且假设所有产出的资源都会被消耗）。比如，煤炭部门生产的每 100 份煤炭中，60 份被电力部门消耗，40 份被钢铁部门消耗；电力部门每生产 100 份煤炭，40 份被煤炭部门消耗，10 份被自己消耗，还有 50 份被钢铁部门消耗；钢铁部门每生产 100 份钢铁，60 份被煤炭部门消耗，20 份被电力部门消耗，还有 20 份被自己消耗。那么，如何给这三种资源定价，使得各部门的收支达到平衡？

首先，上面所述的各部门产出与消耗情况可以用一个表格来表示：

表中每一行表示某部们消耗各资源的情况，各列表示某资源被各部门消耗的情况。例如，煤炭部门每生产 1 单位的煤炭，就有 0.6 单位被电力部门消耗，0.4 单位被钢铁部门消耗；同时，煤炭部门也会消耗 0.4 单位的电力和 0.6 单位的钢铁来保证生产。

当然我们可以考虑用向量来表示这个表格。将表格中的各行向量化，得到：

其中，Oc, Oe, Os 分别表示煤炭、电力、钢铁各个部门消耗三种资源的量。

各种资源的单位价格也可以用符号定义。例如用 pc, pe, ps 分别来表示煤炭、电力、钢铁三种资源的价格，那么煤炭部门的总支出就是

. 同理，电力部门和钢铁部门的总支出是

也就是说，煤炭部门每生产出 1 单位价值为pc的煤炭，它就需要消耗价值为 

的资源。要使煤炭部门收支平衡，就需要：

同理，要使三个部门都达到收支平衡，需要：

借助矩阵的封装，我们可以把这三个式子合并为一个式子：

其中，3 x 3 矩阵 A 就是上面的那个表格。

式子(9) 是我们熟悉的齐次线性方程组的形式。按照套路，我们化简增广矩阵：

由此得到通解：pc=0.94ps, pe=0.85ps，ps 为自由变量。

所以，各部门达到收支平衡时的平衡价格向量为：

也就是说，如果钢铁价格为100元，那么煤炭和电的价格分别为94元和和85元时，整个经济系统可以达到平衡。

二、总结

从上面的例子，我们可以发现：

• 当一个系统中各个部分之间存在线性约束时（例如化学方程式的配平，各元素之间相互存在约束关系），就有可能借助线性方程组来建模。
• 当一个问题描述的是一张简单的表格时，我们可以将其向量化为一系列向量，或是一个矩阵，进而进行“批量”计算。

这里，我们再次发现了矩阵“封装”计算的特点。借助向量化和矩阵化，我们可以将传统的数学问题转化为线性代数问题（如本文的例子就转化为了齐次线性方程组）。

# 参考文献

• 线性代数及其应用：第3版/（美）莱（Lay, D.C.）著；沈复兴等译. ——北京：人民邮电出版社，2007.7

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