层次分析法告诉你如何选择一部手机
数学算法俱乐部
日期：2020年01月02日
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来源:数建模
问题描述：通讯交流在当今社会显得尤其重要，手机便是一个例子，现在每个人手里都有至少一部手机。但如今生产手机的厂家越来越多，品种五花八门，如何选购一款适合自己的手机这个问题困扰了许多人。
目标：选购一款合适的手机
准则：选择手机的标准大体可以分成四个：实用性，功能性，外观，价格。方案：由于手机厂家有几十家，我们不妨可以将其归类：1欧美（iphone）；2亚洲（索爱）；3国产（华为）
解决步骤：
1.建立递阶层次结构模型
图1 选购手机层次结构图
2.设置标度
人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。
为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。
标度 | 定义（比较因素i与j） |
1 | 因素i与j同样重要 |
3 | 因素i与j稍微重要 |
5 | 因素i与j较强重要 |
7 | 因素i与j强烈重要 |
9 | 因素i与j绝对重要 |
2、4、6、8 | 两个相邻判断因素的中间值 |
倒数 | 因素i与j比较得判断矩阵a ij，则因素j与i相比的判断为aji=1/aij |
注：aij表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系：
aij=1/aji ；aii=1； i，j=1，2，…，n
显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。
3.构造判断矩阵
表1 判断矩阵A—B
A | B1 | B2 | B3 | B4 |
B1 | 1 | 3 | 5 | 1 |
B2 | 1/3 | 1 | 3 | 1/3 |
B3 | 1/5 | 1/3 | 1 | 1/5 |
B4 | 1 | 3 | 5 | 1 |
表2 判断矩阵B1—C
B1 | C1 | C2 | C3 |
C1 | 1 | 1/3 | 1/5 |
C2 | 3 | 1 | 1/3 |
C3 | 5 | 3 | 1 |
表3 判断矩阵B2—C
B2 | C1 | C2 | C3 |
C1 | 1 | 3 | 3 |
C2 | 1/3 | 1 | 1 |
C3 | 1/3 | 1 | 1 |
表4 判断矩阵B3—C
B3 | C1 | C2 | C3 |
C1 | 1 | 3 | 6 |
C2 | 1/3 | 1 | 4 |
C3 | 1/6 | 1/4 | 1 |
表5 判断矩阵B4—C
B4 | C1 | C2 | C3 |
C1 | 1 | 1/4 | 1/6 |
C2 | 4 | 1 | 1/3 |
C3 | 6 | 3 | 1 |
4.计算各判断矩阵的特征值，特征向量和一致性检验
用求和法计算特征值：
1将判断矩阵A按列归一化（即列元素之和为1）：bij= aij /Σaij；
2将归一化的矩阵按行求和：ci=Σbij （i=1，2，3….n）；
3将ci归一化：得到特征向量W=（w1，w2，…wn ）T，wi=ci /Σci ，
W即为A的特征向量的近似值；
4求特征向量W对应的最大特征值：
1).
按列归一化后为
2).按行求和并归一化后得
3).计算特征根：
同理有
4).计算最大特征根：
5).进行一致性检验：
查同阶平均随机一致性指针（表6所示）知R.I=0.89，（一般认为CI<0.1、 CR<0.1时，判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较）。
表6 平均随机一致性指针
满足一致性要求。
同理可得剩余判断矩阵的特征根，特征向量，一致性检验。
判断矩阵B1—C
判断矩阵B2---C
判断矩阵B3---C
判断矩阵B4---C
5.层次总排序
获得同一层次各要素之间的相对重要度后，就可以自上而下地计算各级要素对总体的综合重要度。设二级共有m个要素c1, c2,…,cm，它们对总值的重要度为w1, w2,…, wm；她的下一层次三级有p1, p2,…,pn共n个要素，令要素pi对cj的重要度（权重）为vij，则三级要素pi的综合重要度为：
表7 层次总排序表
6.结论
由表7可以看出，三个方案的优劣排序是C3>C2>C1,因此，对于大部分人来说，选购使用且价格便宜的国产华为手机是比较实惠的。
— THE END —
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