第50期 切比雪夫多项式及其应用

NO°／50

sunday，Augustl  27，2017

致   最好时光中的你

磨难

笑，全世界便与你同声笑，

哭，你便独自哭。

——张爱玲   

切比雪夫（1821~1894），俄文原名Пафну́тий Льво́вич Чебышёв，俄罗斯数学家、力学家。1821年5月26日生于卡卢加省奥卡托沃，1894年12月8日卒于彼得堡。他一生发表了70多篇科学论文，内容涉及数论、概率论、函数逼近论、积分学等方面。他证明了贝尔特兰公式，自然数列中素数分布的定理，大数定律的一般公式以及中心极限定理。他不仅重视纯数学，而且十分重视数学的应用。

切比雪夫在概率论、数学分析等领域有重要贡献。在力学方面，他主要从事这些数学问题的应用研究。他在一系列专论中对最佳近似函数进行了解析研究，并把成果用来研究机构理论。他首次解决了直动机构（将旋转运动转化成直线运动的机构）的理论计算方法，并由此创立了机构和机器的理论，提出了有关传动机械的结构公式。他还发明了约40余种机械,制造了有名的步行机（能精确模仿动物走路动作的机器）和计算器，切比雪夫关于机构的两篇著作是发表在1854年的《平行四边形机构的理论》和1869年的 《论平行四边形》

切比雪夫多项式

以俄国著名数学家切比雪夫(Tschebyscheff，182l-1894)的名字命名的重要的特殊函数第一类和第二类切比雪夫多项式T(n)和U(n)(简称切比雪夫多项式)，源起于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣美弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列，是计算数学中的一类特殊函数

余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cosnx都是关于cosx的次数等于x的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．